Limites
D´edou

Mars 2011

Evaluer Taylor

On veut dire que l’approximation de Taylor est d’autant meilleure que n augmente, et que x se rapproche de a. Pour le moment, cette phrase n’a aucun sens pr´ecis, et on va lui en donner un, qui reposera sur la notion de limite et deux notions qui en d´ecoulent, celle d’´equivalence et celle de pr´epond´erance. Pour le moment on r´evise un peu les limites.

Carte de visite de la limite

Notre construction lim attend une fonction f et un nombre a et retourne (pas toujours) un r´eel.
La fonction f n’est pas forc´ement partout d´efinie, le nombre a peut
ˆetre infini, ainsi que la limite, ce qu’on r´esume en ´ecrivant : lim : (R → R⊥ ) × R →
R⊥
(f , a)
→ limx→a f (x).
Il y a une d´efinition avec des epsilons...

Vocabulaire

Au lieu de
”on a limx→a f (x) = L” on pref`ere dire
” f (x) tend vers L quand x tend vers a” bien que
” f (x) tend vers L” et ”x tend vers a” n’aient pas de sens s´epar´ement.

Les variantes lat´erales

Parfois on ne s’int´eresse qu’`a certaines valeurs de x et pas `a toutes, il faut alors pr´eciser aussi l’intervalle, ou plus g´en´eralement la partie de R, dans laquelle x varie. Les deux cas principaux sont ceux o` u x reste ”`a gauche” ou ”`a droite” de a : limg : (R → R⊥ ) × R →
R⊥
(f , a)
→ limx→a− f (x). limd : (R → R⊥ ) × R →
R⊥
(f , a)
→ limx→a+ f (x).
Ces deux limites ont aussi des d´efinitions avec des epsilons.

Les r`egles de calcul des limites

On va faire le tour des quelques r`egles de calcul pour les limites.
Ce sont la r`egle du gendarme la r`egle du produit par born´e les r`egles pour les op´erations les r`egles pour la composition.

La r`egle du gendarme

Le gendarme
Si, sur DDf , on a |f | ≤ g et si limx→a g (x) = 0, alors on a aussi limx→a f (x) = 0.
Exemple

√
√
Prenons g := x → x et f := x → x cos x.
On sait que g (x) tend vers 0 quand x tend vers 0 et on a |f | ≤ g .
On en d´eduit que f (x) tend aussi vers 0 quand x tend vers 0 .
Exo 1
Expliquez pourquoi x →

sin2 x x tend vers