Synthese

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  • Publié le : 28 novembre 2010
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PCSI A 2009-2010

Mathématiques

Lycée Brizeux

Fonctions d’une variable réelle.
Etant donné un ensemble D ⊂ R non vide, RD est l’ensemble des fonctions de D vers R.

Structures algébriques• Etant donné f, g dans RD et λ ∈ R, on définit les applications de D vers R : f + g : x → f (x) + g(x) Pour ces lois : RD est un R-espace vectoriel. • On définit également : f g : x → f (x)g(x). AinsiRD est un anneau commutatif. • Soit T ∈ R. On dit que f ∈ RR est T -périodique lorsque : ∀x ∈ R, f (x + T ) = f (x). L’ensemble des fonctions T -périodiques est un sous-espace vectoriel de RR . λf :x → λf (x)

Relation d’ordre
Soit f, g dans RD . • La fonction |f | est définie par |f | : x → |f (x)|. • Les fonction sup(f, g) et inf(f, g) sont définies par : sup(f, g) : x → sup{f (x), g(x)}inf(f, g) : x → inf{f (x), g(x)}.

• f est majorée s’il existe M ∈ R tel que : ∀x ∈ D, f (x) ≤ M, i.e. l’ensemble f (D) est majoré. • f est minorée s’il existe m ∈ R tel que : ∀x ∈ D, f (x) ≥ m, i.e.l’ensemble f (D) est minoré. • f est bornée si elle est majorée et minorée ou de manière équivalente si |f | est majorée : ∃M ∈ R, ∀x ∈ D, |f (x)| ≤ M.

Bornes
Soit f dans RD • La borne supérieure de f, si elle existe, est la borne supérieure de f (D) : sup f = sup{f (x), x ∈ D} = sup f (x).
x∈D

• La borne inférieure de f , si elle existe, est la borne inférieure de f (D) : inf f = inf{f (x),x ∈ D} = inf f (x).
x∈D

• Le maximum de f , si il existe, est le maximum de f (D) : max f = max{f (x), x ∈ D} = max f (x).
x∈D

• Le minimum de f , si il existe, est le minimum de f (D) : min f= inf{f (x), x ∈ D} = min f (x).
x∈D

Remarque. Si max f (resp. min f ) existe alors sup f (resp. inf f ) existe et sup f = max f (resp. inf f = min f ). La réciproque est fausse. 1

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Opérations algébriques sur les limites
Soit f et g deux fonctions. On pose lim f (x) = l et lim g(x) = l .
x→a x→a

Le tableau ci-dessous donne la...
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