Le logarithme naturel ou logarithme népérien est, en mathématiques, la fonction logarithme de base e, c'est-à-dire que le logarithme naturel de x est la puissance à laquelle il faut élever e pour trouver x. On peut en effet définir cette fonction comme la primitive sur ]0,+∞[ et qui s'annule en 1 de la fonction inverse f(x)=\displaystyle \dfrac{1}{x}, et en déduire que sa bijection réciproque est la fonction exponentielle.

Cette fonction est notée l. ou l, en tout cas dès le début du XVIIIe siècle1, et jusque dans la première moitié du XIXe siècle2, puis log.3 ou log4 dès la fin du XVIIIe siècle, puis Log pour la différencier de la fonction log (logarithme de base quelconque, ou plus particulièrement logarithme décimal)5 avant que ne tente de s'imposer la notation préconisée par les normes AFNOR de 19616 et ISO 80000-27 : la notation ln (avec un succès cependant très relatif: la notation log est encore aujourd'hui utilisée dans plusieurs branches des mathématiques, et tout particulièrement en théorie des nombres8, quasiment systématiquement).
Historique
Article connexe : Histoire des logarithmes et des exponentielles.

Ce logarithme est appelé logarithme népérien en hommage au mathématicien écossais John Napier qui est à l'origine des premières tables logarithmiques en mathématiques. Celles-ci ne furent cependant pas des tables de logarithmes népériens9. On date en général la naissance des logarithmes népériens de 1647, date à laquelle Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l'hyperbole et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété des fonctions logarithmes (transformation d'un produit en somme) mais lui-même ne voit pas le lien avec les logarithmes inventés par Napier et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'explicitera en 164910. La fonction ln s'est d'ailleurs appelée un certain temps fonction logarithme hyperbolique compte tenu de sa découverte comme aire sous l'hyperbole11. Le terme de logarithme naturel