25/09/2014

Université Lumière Lyon2
Sciences économiques et gestion
Outils Mathématiques pour les S.E.S
H. Lample

CHAPITRE 1
Fonctions d’une variable réelle
L’objet de ce chapitre est d’appliquer les notions étudiées au lycée (en particulier la dérivation) aux situations économiques.

L1 –Semestre 1 Année universitaire 2014-2015

Dérivation locale
Partie I
Dérivation
Rappels et compléments

f est une fonction définie sur un intervalle Ι et a ∈ Ι.
Nombre dérivé en a

Tangente à la courbe

f est dérivable en a si le quotient f (a + h) − f (a) admet une h limite finie en 0. Le nombre dérivé de f en a est :

La courbe de f admet au point
A(a, f(a)) une tangente dont le coefficient directeur est f ’(a).
Une équation de cette tangente est :

f (a + h) − f (a) h f ( x) − f (a) ou f '(a) = lim x →a x −a f '(a) = lim

h →0

Illustration

y = f '(a)(x − a) + f (a)

Existence d’une tangente et dérivabilité La fonction racine carrée de même que les fonctions x ↦ xα avec 0 < α < 1 ne sont pas dérivables en 0.
Leurs courbes admettent cependant une tangente verticale au point origine d’abscisse 0.

3

y=rac(x)
2

y=x^1/4

1

0

1

2

3

4

5

1

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Dérivation globale
• On dit qu’une fonction est dérivable sur un intervalle Ι si elle est dérivable en chaque point de Ι. Par définition, la fonction dérivée f’ est la fonction qui à tout réel x de l’intervalle I associe f’(x), nombre dérivé de f en x.
• Les fonctions polynômes et les fonctions exponentielles sont dérivables sur R.
• La fonction logarithme népérien, la fonction racine carrée et les fonctions x ↦ xα (avec α > 0) sont dérivables sur ]0 ; +∞[.

A retenir sur le fascicule de TD
• Les dérivées des fonctions usuelles et leurs domaines de validité.
• Les formules de dérivation d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de fonctions dérivables. • Les formules de dérivation d’une composition de fonctions en particulier : exp(u), ln(u) et uα.

Approximation affine locale
• Pour une petite variation h de la variable à