Synthèse de Math 6h (Analyse)

1 Valeurs absolues
Rappel :

∣x∣= x si x0 ∣x∣=−x  si x 0

A) Équations
a) Si une valeur absolue avec l'inconnue uniquement dans la valeur absolue ◦ Isoler la valeur absolue ◦ La retirer Exemple : ∣x3∣=5⇔ x3=±5 ⇔ x=−8 ou x=2 b) Si plusieurs valeurs absolues ou si présence d'une inconnue à l'intérieur et à l'extérieur ◦ Tout mettre dans le même membre ◦ Exprimer ce membre comme une fonction par morceaux ◦ Chercher les racines (par morceaux) et vérifier

∣2x5∣= x2 si 2x50 ⇔ 2x5=x2 ⇔ x =−3 si 2x50 ⇔−2x−5=x2 7 ⇔x= −3

B) Inéquations
a) Type 1 (voir point a) équations)

∣1−2x∣5 si 1−2x−5 ⇔ x 3
b) Type 2 (voir point b) équations)

si 1−2x5 x−2

S= ;−2[U ]3 ;  ∣3x4∣−x21 si 3x40 3x4− x21 ⇔ 2x1−6 −5 ⇐ x 2 si 3x40 −3x−4−x21 ⇔−4x3 −3 ⇔ x 4

S= ;

−3 −5 ]U [ ; 4 2

Par Nicolas Cognaux. Sous licence Créative Commons BY-NC-SA

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2 Les fonctions
◦ Généralités
1. Notation:

f : ℝ  ℝ ; x  f  x

2. Définition: Le domaine de définition d'une fonction (domf) est l'ensemble des réels dont l'image existe.
Pour déterminer le domaine on pose et on résout les CE : den≠0 ; radicands0 .

3. Une racine d'une fonction f est un réel dont l'image par f est nulle. L'ensemble des racines de f se note Zf . Pour déterminer les racines, on résout f  x =0 et on vérifie avec domf. ◦ Parité d'une fonction 1. Une fonction est paire si ∀ x∈domf : f −x = f  x 
Conséquence graphique: f est paire si son graphe admet l'axe y comme axe de symétrie.

2. Une fonction est impaire si

∀ x∈domf : f  x =− f  x 

conséquence graphique: f est impaire si son graphe admet l'origine (0;0) comme centre de symétrie.

◦ Manipulation de fonction
1. Manipulation sur y (respecte l'intuition)

◦ f (x) + k f  x k ∣k∣ si k 0  ∣k∣ si f 0

◦ y = k.f(x) : On multiplie les ordonnées par k. Ordre des manipulations: on suit les priorités des opérations.
2. Manipulation sur