Chapitre 1 Nombres réels
1.1 Dé…nitions et propriétés

Soit R un ensemble d’ éléments entre lesquels on peut établir la relation d’ ordre d’ infériorité et e¤ectuer les opérations de la somme + et de la multiplication . Les propriétés de ces relations et opérations sont données sous forme d’ système un d’ axiomes répartis sur quatre groupes : le premier groupes correspond aux axiomes de l’ addition, dans le deuxième - les axiomes de la multiplication, dans le troisième - les axiomes de la relation d’ ordre et dans le quatrième - l’ axiome de la borne supérieure. La relation d’ ordre . La relation d’ ordre est totale dans R ; ce qui signi…e que est est est est ré‡exive : 8x 2 R; x x antisymétrique : 8x 2 R; 8y 2 R, si x y et y x alors x = y transitive : 8x 2 R; 8y 2 R; 8z 2 R; si x y et y z alors x z totale : 8x 2 R; 8y 2 R; x y ou y x

La somme. L’ opération d’ addition + est interne dans R : 8x 2 R et 8y 2 R =) x + y 2 R, de plus : 1. elle est associative : 8x 2 R; 8y 2 R; 8z 2 R; (x + y) + z = x + (y + z) ; 2. elle est commutative : 8x 2 R; 8y 2 R; x + y = y + x ; 3. l’ élément 0 est neutre pour l’ addition: 8x 2 R; x + 0 = x ; 4. tout élément x de R admet un opposé dans R, noté x : 8x 2 R; x + ( x) = 0. Multiplication. L’ opération de multiplication est interne : 8x 2 R et 8y 2 R =) xy 2 R, de plus : 5. elle est associative : 8x 2 R; 8y 2 R; 8z 2 R; (xy) z = x (yz) ; 6. elle est commutative : 8x 2 R; 8y 2 R; xy = yx ; 7. l’ élément 1 est neutre pour la multiplication: 8x 2 R; x1 = x ; 8. tout élément x de Rn f0g admet un inverse dans R, noté x 1 : 8x 2 R; xx 1 = 1 ; 9. la multiplication est distributive sur l’ addition : 8x 2 R; 8y 2 R; 8z 2 R; x (y + z) = xy + xz ; Borne supérieure. Une partie A de R est dite majorée (resp. minorée) dans R si et seulement s’ existe au moins un élément a 2 R, appelé majorant (resp. minorant), il 1

2 tel que

M. El Hatri

Si le nombre a 2 A, il est appelé le plus grand élément de A (resp. le plus petit), qu’ note a =