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Ecole Sup´rieure des Industries Textiles et de e l’Habillement

Cours de Math´matiques e
Pr´paration au cycle ”INGENIEUR” e

Naceur ACHTAICH

Ann´e universitaire 2009-2010 e

2

1

Chapitre 1

Polynˆmes et fractions rationnelles o
1.1
1.1.1

Polynˆmes o
D´finitions e

Sur le corps C ou IR, on peut d´finir les fonctions polynˆmes comme les fonctions d´finies l e o e a ` partirde l’identit´ x −→ x et des fonctions constantes x −→ a au moyen des op´rations e e d’addition et de multiplication. Exemple 1.1.1 P (x) = 2 + 3x + 5x2 (1 + 2x) 1 + x2
Ă Ł Ă Ł2

= 2 + 11x + 27x2 + 39x3 + 41x4 + 10x5 .
n X p=0

D´finition 1.1.1 Un polynˆme peut ˆtre ´crit P (x) = e o e e

ap xp = a0 + a1 x + · · · + an xn .

Formellement, un polynˆme peut toujours ˆtre repr´sent´ par lasuite finie (a0 ,a1 , . . . ,an ) de o e e e i. ses coefficients, ai ´tant le facteur de x e D´finition 1.1.2 Le degr´ de P est le plus grand exposant (ici n si an = 0). Le degr´ du e e e polynˆme nul est −∞ par convention. o D´signons, dans toute la suite, par IK[x] (IK = C ou IR) l’ensemble des polynˆmes ` coefficients e l o a dans IK. 1.1.1.1 Addition de polynˆmes o

Soient P,Q ∈ IK[x], alors ∀x ∈IK (P + Q) (x) = P (x) + Q(x) Remarquons que d◦ (P + Q) ≤ max (d◦ P,d◦ Q), d◦ = degr´. e On a P + Q = Q + P , (P + Q) + R = P + (Q + R), 0 + P = P et P + (−P ) = 0.

2 1.1.1.2

ˆ CHAPITRE 1. POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES Produit de polynˆmes o
n X p=0 m X p=0

Soient P,Q ∈ IK[x], (P Q)(x) = P (x)Q(x). Si P (x) = ap xp et Q(x) = bp xp , alors
n+m X p X Ă

(P Q)(x) =

ak bp−k xpŁ

p=0 k=0

d’o` d◦ (P Q) = d◦ P + d◦ Q. u On a P Q = QP , (P Q)R = P (QR) et P (Q + R) = P Q + P R. Exemple 1.1.2 Soient P (x) = 1 + x + x2 et Q(x) = 1 + x + 2x2 + 3x3 , on a (P Q)(x) = 1 + 2x + 4x2 + 6x3 + 5x4 + 3x5 . 1.1.1.3 Division euclidienne de polynˆmes ou division suivant les puissances o d´croissantes e

Proposition 1.1.1 Pour tous polynˆmes A et B (B = 0), il existe un et un seulpolynˆme o o Q appel´ quotient, et un et un seul polynˆme R appel´ reste, tels que A = BQ + R avec e o e d◦ R < d◦ B. Exemple 1.1.3 A(x) = 3x5 + 5x4 + 6x3 + 4x2 + 2x + 1 et B(x) = x2 + x + 1 D´finition 1.1.3 On dit que le polynˆme A est divisible par le polynˆme B (ou que B divise e o o A et on note B/A) si le reste de la division euclidienne de A par B est nul. D´finition 1.1.4 Si B divise A1 etA2 alors B est dit un diviseur commun de A1 et A2 . e D´finition 1.1.5 Si A1 et A2 n’ont pas de diviseurs communs de degr´ sup´rieur ou ´gal ` e e e e a 1 alors A1 et A2 sont dits premiers entre eux. Exemple 1.1.4 Etudier si les polynˆmes A1 et A2 sont premiers entre eux o 1. A1 (x) = 2 + 11x + 27x2 + 39x3 + 31x4 + 10x5 et A2 (x) = 2 + 3x + 5x2 . 2. A1 (x) = 3x5 − 5x4 + 6x3 − 4x2 − x + 1 et A2 (x) =x2 − 2x + 1. Proposition 1.1.2 Soient A1 et A2 deux polynˆmes ` coefficients dans IK. Il existe un poo a lynˆme et un seul unitaire (cad de coefficient de tˆte ´gal ` 1) D diviseur commun de A1 o e e a et A2 et de plus grand degr´ parmi les diviseurs communs de A1 et A2 . D est appel´ le plus e e grand commun diviseur (en abr´g´ : pgcd). e e Remarque 1.1.1 Le pgcd de A1 et A2 est le dernier reste nonnul normalis´ dans la suite e des divisions euclidiennes successives (connue sous le nom d’algorithme d’Euclide). Exemple 1.1.5 Calculer, dans IR[x], le pgcd de 1. x5 + x + 1 et x4 − 2x3 − x + 2, 2. 3x5 − 5x4 + 6x3 − 4x2 − x + 1 et x2 − 2x + 1.

ˆ 1.1. POLYNOMES 1.1.1.4 Division suivant les puissances croissantes

3

Proposition 1.1.3 Si A et B sont deux polynˆmes tels que b0 = 0, alorspour tout entier k, o il existe un couple unique (Q,R) de polynˆmes, tels que A = BQ + xk+1 R avec d◦ Q ≤ k. Les o polynˆmes Q et xk+1 R sont respectivement appel´s quotient et reste de la division suivant les o e puissances croissantes de A par B ` l’ordre k. a Exemple 1.1.6 Faire la division suivant les puissances croissantes de A(x) = 2 + 3x + x2 − 2x3 − 3x4 + x5 par B(x) = 2 + 3x + x2 `...
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