Ecole Sup´rieure des Industries Textiles et de e l’Habillement

Cours de Math´matiques e
Pr´paration au cycle ”INGENIEUR” e

Naceur ACHTAICH

Ann´e universitaire 2009-2010 e

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Chapitre 1

Polynˆmes et fractions rationnelles o
1.1
1.1.1

Polynˆmes o
D´finitions e

Sur le corps C ou IR, on peut d´finir les fonctions polynˆmes comme les fonctions d´finies l e o e a ` partir de l’identit´ x −→ x et des fonctions constantes x −→ a au moyen des op´rations e e d’addition et de multiplication. Exemple 1.1.1 P (x) = 2 + 3x + 5x2 (1 + 2x) 1 + x2
Ă Ł Ă Ł2

= 2 + 11x + 27x2 + 39x3 + 41x4 + 10x5 . n X p=0

D´finition 1.1.1 Un polynˆme peut ˆtre ´crit P (x) = e o e e

ap xp = a0 + a1 x + · · · + an xn .

Formellement, un polynˆme peut toujours ˆtre repr´sent´ par la suite finie (a0 ,a1 , . . . ,an ) de o e e e i. ses coefficients, ai ´tant le facteur de x e D´finition 1.1.2 Le degr´ de P est le plus grand exposant (ici n si an = 0). Le degr´ du e e e polynˆme nul est −∞ par convention. o D´signons, dans toute la suite, par IK[x] (IK = C ou IR) l’ensemble des polynˆmes ` coefficients e l o a dans IK. 1.1.1.1 Addition de polynˆmes o

Soient P,Q ∈ IK[x], alors ∀x ∈ IK (P + Q) (x) = P (x) + Q(x) Remarquons que d◦ (P + Q) ≤ max (d◦ P,d◦ Q), d◦ = degr´. e On a P + Q = Q + P , (P + Q) + R = P + (Q + R), 0 + P = P et P + (−P ) = 0.

2 1.1.1.2

ˆ CHAPITRE 1. POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES Produit de polynˆmes o n X p=0 m X p=0

Soient P,Q ∈ IK[x], (P Q)(x) = P (x)Q(x). Si P (x) = ap xp et Q(x) = bp xp , alors n+m X p X Ă

(P Q)(x) =

ak bp−k xp

Ł

p=0 k=0

d’o` d◦ (P Q) = d◦ P + d◦ Q. u On a P Q = QP , (P Q)R = P (QR) et P (Q + R) = P Q + P R. Exemple 1.1.2 Soient P (x) = 1 + x + x2 et Q(x) = 1 + x + 2x2 + 3x3 , on a (P Q)(x) = 1 + 2x + 4x2 + 6x3 + 5x4 + 3x5 . 1.1.1.3 Division euclidienne de polynˆmes ou division suivant les puissances o d´croissantes e

Proposition 1.1.1 Pour tous polynˆmes A et B (B = 0), il existe un et un seul