CCP PSI - 2010 Math´matiques 1 : un corrig´ e e Premi`re partie. e
D´finition d’une structure euclidienne sur Rn [X]. e
1.1. B est clairement sym´trique et lin´aire par rapport ` sa seconde variable. De plus B(P, P ) ≥ 0 e e a et n’est nul que si ∀i ∈ [|0, n|], P (xi ) = 0. Si P ∈ Rn [X], on peut en d´duire que P = 0 (un e polynˆme non nul de degr´ n admettant au plus n racines). Ainsi, B est un produit scalaire sur o e Rn [X]. Le r´sultat est faux sur C(R, R) car P = n (X − xk ) ∈ C(R, R) est non nul mais v´rifie e e k=0 B(P, P ) = 0. 1.2. On a imm´diatement e 1 si k = j Lk (xj ) = δk,j = } 0 sinon On en d´duit que e ∀k, i ∈ [|0, n|], B(Lk , Li ) = Li (xk ) = δj,i ce qui montre que (L0 , . . . , Ln ) est une famille orthonorm´e de Rn [X]. C’est en particulier une e famille et comme elle a n + 1 = dim(Rn [X]) ´l´ments qui sont dans Rn [X], c’est une b.o.n. de ee Rn [X].

D´finition de Pn (f ). e
2.1. Avec la question 1.2, on a ∀k ∈ [0, n|], B(f, Lk ) = f (xk ) On en d´duit que e ∀k ∈ [|0, n|], Pn (f )(xk ) = B(f, Lk ) = f (xk ) 2.2. Pn (f ) est, on vient de le voir, un polynˆme convenable. Si P en est un autre alors P− Pn est o nul car c’est un ´l´ment de Rn [X] qui a strictement plus de n racines. ee 2.3. Les r`gles de calcule en b.o.n. montre que e n ∀f ∈ Rn [X], f = i=0 B(f, Li )Li = Pn (f )

P = n Lk ∈ Rn [X] et ∀i, P (xi ) = 1. D’apr`s la question pr´c´dente, P = 1 car 1 est un e e e k=0 autre ´l´ment de Rn [X] ayant les mˆmes propri´t´s. Ainsi, ee e ee n ∀x ∈ R, k=0 Lk (x) = 1

Une application lin´aire. e
3.1. Soit f ∈ C([a, b], R) telle que N∞ (f ) ≤ 1. En particulier, ∀i, |f (xi )| ≤ 1 et donc n ∀x ∈ [a, b], |Λ(f )(x)| ≤ i=0 |f (xi )||Li (x)| ≤ |Φ(x)| ≤ N∞ (Φ)

Le majorant est ind´pendant de x et un passage ` la borne sup´rieure donne N∞ (Λ(f )) ≤ e a e N∞ (Φ). Cette fois, le majorant est ind´pendant de f et en passant ` la borne sup´rieure, on e a e obtient Λ ≤ N∞ (Φ) 1

3.2. t → Φ(t) est continue et est donc born´e sur