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4G2 – DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE

EXERCICES 6B

EXERCICE 6B.1 ABC est un triangle isocèle en A et A’ est le milieu de [BC]. Démontrer que (AA’) est perpendiculaire à (BC). DEMONSTRATION GUIDEE : B 1. Que représente (AA’) pour le triangle ABC ? (AA’) est une médiane du triangle ABC. 2. Pourquoi ? Car elle passe par le sommet A et le milieu de [ BC] . A’ 3. Quelle est la particularité de cette droite dans un triangle isocèle ? Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est confondue avec la médiatrice relative à la base. 4. Donc (AA’) est la médiatrice de [ BC] et elle lui est C perpendiculaire. EXERCICE 6B.2 DEF est un triangle isocèle en E et (d) est une droite perpendiculaire à (DF) passant par E’, milieu de [DF]. a. Tracer (d). b. Démontrer que E appartient à (d) (ou bien que « (d) passe par E ») DEMONSTRATION GUIDEE : 1. Que représente (d) pour le triangle DEF ? (d) est la médiatrice relative au côté [ DF] . 2. Pourquoi ? car (d) est perpendiculaire à [ DF] et passe par son milieu E’ 3. Quelle est la particularité de cette droite dans un triangle isocèle ? Dans un triangle isocèle, les 4 droites remarquables issues du sommet principal sont confondues. 4. Donc (d) est également la hauteur (médiane et bissectrice) issue de E et elle passe par ce sommet. EXERCICE 6B.3 IJK est un triangle équilatéral et (d) est la perpendiculaire à (IK) passant par J. L est l’image de I par la translation qui transforme J en K. a. Tracer (d) et construire L. b. Démontrer que (d) coupe [IK] en son milieu. c. En déduire que L appartient à (d) (ou bien que « (d) passe par L ») b. On sait que (d) est perpendiculaire à [ IK] et passe par le sommet J, donc c’est une hauteur du triangle IJK. Or, dans un triangle équilatéral, les 4 droites remarquables issues de chaque sommet sont confondues. Donc (d) est également la médiatrice relative à [ IK] et passe par son milieu. c. On sait que la translation conserve les longueurs, donc IL=JK.