CHAPITRE 4
LOGARITHME, EXPONENTIELLE, SINUS,
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COSINUS : 1ERE
APPROCHE

Commen¸cons par des ajouts au chap. 3. D’abord, une condition suffisante pour l’existence d’un extremum local d’une fonction d´erivable, puis quelques figures.
Corollaire 3.29.1. — Soient I un intervalle ouvert, f : I → R une application d´erivable sur I, et c ∈ I. On suppose qu’il existe un intervalle ouvert non vide J = ]c − δ, c + δ[ contenu dans I tel que, pour tout x ∈ J on ait f (x) ≥ 0 si x ≤ c et f (x) ≤ 0 si x ≥ c
(resp. f (x) ≤ 0 si x ≤ c et f (x) ≥ 0 si x ≥ c). Alors f admet en c un maximum
(resp. minimum) local.
D´emonstration. — Pla¸cons-nous dans le 1er cas (le 2`eme ´etant analogue). L’hypoth`ese entraˆıne que f est croissante sur ]c − δ, c] et d´ecroissante sur [c, c + δ[, d’o` u f (x) ≤ f (c) pour tout x dans ]c − δ, c] ou dans [c, c + δ[. Donc f admet en c un maximum local.
Remarque 3.29.2. — (1) Si les hypoth`eses du corollaire sont v´erifi´ees et si de plus f ne s’annule pas sur J \ {c}, c.-` a-d. si f (x) > 0 pour x ∈ ]c − δ, c] et f (x) < 0 pour x ∈ [c, c + δ[ (resp. si f (x) < 0 pour x ∈ ]c − δ, c] et f (x) > 0 pour x ∈ [c, c + δ[), alors on dit que « f s’annule et change de signe en c ». Le corollaire est souvent ´enonc´e dans ce cas particulier sous la forme : si f s’annule et change de signe en c, alors f admet en c un extremum local.
(2) Le corollaire donne une condition suffisante d’existence d’un extremum local, mais cette condition n’est pas n´ecessaire : la fonction f d´efinie par f (0) = 0 et f (x) = x2 (1 + sin(1/x)) est d´erivable sur R et `a valeurs ≥ 0, donc admet en c = 0 un miminimum local. Mais pour x = 0, f (x) = 2x(1+sin(1/x))−cos(1/x) prend des valeurs > 0 et < 0 dans chaque intervalle ]−δ, 0[ ou ]0, δ[, pour tout δ > 0. y y=x

Π
2

y = arctan x
1

O

1

x

Π
2

y = tan x

Fig. 1. Interpr´etation graphique du th´eor`eme de l’application r´eciproque.

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CHAPITRE 4. LOGARITHME, EXPONENTIELLE, SINUS, COSINUS : 1ERE
APPROCHE

Des figures donnant