Mathématiques - Dérivées et Différentielles

Dérivées et Différentielles - Corrigés des exercices -

page 1 de 38 2 - Derivees differentielles - ExCorr - RevD

Mathématiques - Dérivées et Différentielles

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Dérivation et variations
1.1 Opérations sur les dérivées à démontrer

Soient u et v deux fonctions dérivables dont les dérivées sont u’ et v’. Démontrez en utilisant la définition de la dérivée les formules de calcul suivantes : 1.1.1

( λ .u )′ = λ .u ′

Pour tout réel x0 du domaine de définition de u : ( λu )( x ) − ( λu )( x0 ) = lim λ.u ( x ) − λ.u ( x0 ) = lim λ. u ( x ) − u ( x0 ) ' ( λu ) ( x0 ) = xlim → x0 x → x0 x → x0 x − x0 x − x0 x − x0
= λ . lim u ( x ) − u ( x0 ) = λ .u ' ( x0 ) x → x0 x − x0

1.1.2
′

( u + v )′ =

u ′ + v′

Pour tout réel x0 de l’intersection des domaines de définition de u et de v :

( u + v ) ( x0 ) = xlim →x

( u + v )( x ) − ( u + v )( x0 ) = lim u ( x ) + v ( x ) − u ( x0 ) − v ( x0 ) x − x0 x → x0

0

x − x0

u ( x ) − u ( x0 ) v ( x ) − v ( x0 )  u ( x ) − u ( x0 ) v ( x ) − v ( x0 )  = lim  + lim + lim = u ' ( x0 ) + v ' ( x0 )  = x→ x x → x0 x → x0 0 x − x0 x − x0 x − x0 x − x0  

1.1.3

( uv )′ = u′v + uv′

Pour tout réel x0 de l’intersection des domaines de définition de u et de v : u ( x ) v ( x ) − u ( x0 ) v ( x0 ) u ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ( x0 ) + u ( x ) v ( x0 ) − u ( x0 ) v ( x0 ) = lim ( uv )' ( x0 ) = xlim → x0 x → x0 x − x0 x − x0
= lim u ( x ) ( v ( x ) − v ( x0 ) ) + v ( x0 ) ( u ( x ) − u ( x0 ) ) x − x0 x → x0

= u ( x0 ) lim

= u ( x0 ) v ' ( x0 ) + v ( x0 ) u ' ( x0 )

v ( x ) − v ( x0 ) u ( x ) − u ( x0 ) + v( x0 ) lim x → x0 x → x0 x − x0 x − x0

1.1.4
1 1 − ' v ( x ) v ( x0 ) v ( x0 ) − v ( x ) 1 1 v ( x0 ) − v ( x ) 1 lim = lim = . lim   ( x0 ) = x → x0 x → x0 ( x − x ) v ( x ) v ( x ) x − x0 v ( x0 ) x → x0 v ( x ) x − x0 v 0 0 = v ( x0 ) − v ( x ) 1 1 1 v = 2 . lim . lim ( −v ' ( x0 ) ) = − v 2' ( x0 ) v ( x0 ) x → x0 v ( x )