Suites numériques 2

1

Somme des termes d’une suite

Dans les applications, il est souvent nécessaire de calculer la somme de quelques premiers termes d’une suite (ou même de tous les termes, mais on étudiera ce cas plus tard) :
N

SN = u 0 + u 1 + · · · + u N = n=0 un .

Le signe (lettre grecque sigma) est une notation pour écrire une somme de plusieurs termes de façon compacte. On lit “la somme sur n de zéro à N de un ”. Dans certains cas, on peut trouver des formules explicites pour SN . C’est le cas notamment des suites arithmétiques et géométriques.

1.1

Somme des termes d’une suite arithmétique

On écrit SN deux fois, dans l’ordre direct et dans l’ordre inverse : SN = u 0 + u 1 + · · · + u N . SN = uN + uN −1 + · · · + u0 . En faisant la somme des deux égalités, on obtient 2SN = = = = (u0 + uN ) + (u1 + uN −1 ) + · · · + (uN + u0 ) (u0 + u0 + rN) + (u0 + r + u0 + r(N − 1)) + · · · + (u0 + rN + u0 ) (2u0 + rN) + (2u0 + rN) + · · · + (2u0 + rN) (N + 1)(2u0 + rN).

Cela implique SN = (N + 1)(u0 + rN ), 2 (1)

ou bien, en utilisant la relation uN = u0 + rN,

1

SN = Autrement dit, SN =

(N + 1)(u0 + uN ) . 2

nombre de termes × (premier terme + dernier terme) . 2

(2)

(notez que le nombre de termes dans SN est égal à N +1 puisqu’on part de u0 ). Remarque La dernière formule est valable pour toute somme de quelques termes consécutifs de la suite (et non seulement en partant de u0 ). La démonstration est exactement la même. Par exemple, si un = 3 + 5n (suite arithmétique de raison 5), alors u7 + u8 + · · · + u16 = 10 (3 + 5 · 7) + (3 + 5 · 16) u7 + u16 = 10 = 555. 2 2

Exemple : Pour la somme des N premiers nombres naturels, on obtient
N

1+2+···+N = n=1 n=

N(N + 1) . 2

1.2

Somme des termes d’une suite géométrique

Ici, l’astuce consiste à écrire SN et qSN et remarquer qu’ils ont des termes en commun : SN = u0 + u1 + · · · + uN −1 + uN = u0 + qu0 + · · · + q N −1 u0 + q N u0 . qSN = qu0 + q 2 u0 · · · + q