Notes du cours M11
Analyse Réelle I
Licence STS, mention Mathématiques
Première année
Lucilla Corrias
Laboratoire Analyse et Probabilité
Département de Mathématique
Universitéé d’Evry Val d’Essonne

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Avertissement Ces notes ont été redigées pour servir de support au cours M11 “Analyse réelle I ”, enseigné aux étudiants de la première année de la licence STS, mention mathématiques.
Il s’agit d’un résumé du cours. Ainsi, les démonstrations des théorèmes ne sont par reportées ici, mais elles sont développées pour la plupart pendant le cours. Il ne faut donc pas considérer ces notes comme un texte de référence et les étudiants sont fortement invités à consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent certainement des fautes de frappe et des erreurs. Toute correction apportée à ce texte sera la bienvenue.

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Notations et identités remarquables
N = ensemble des entiers naturels
Z = ensemble des entiers relatifs
Q = ensemble des nombres rationnels
R = ensemble des nombres réels
C = ensemble des nombres complexes
∃
∀
∈
≤
≥

“ il existe ”
“ pour tout ”
“ appartient ”
“ plus petit ou égal ”
“ plus grand ou égal ”

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a − b)(a + b) = a2 − b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3 a3 − b3 = (a − b)(a2 + a b + b2 ) n ak = a1 + a2 + · · · + an k=1 n

ak = a1 × a2 × · · · × an k=1 |x| = valeur absolue de x ∈ R
|z| = module de z ∈ C
E(x) = partie entière de x ∈ R i = unité imaginaire de C n k n−k n (a + b)n = k=0 a b pour tout a , b ∈ R et n ∈ N∗ k n ! = 1 · 2 · 3 · · · n pour tout n ∈ N∗ et 0 ! = 1 n k

=

n! k ! (n − k) !

Table des matières
Chapitre 1. Bases
1. Premières définitions et rappels
1.1. Les ensembles
1.2. Le raisonnement par récurrence
1.3. Les nombres réels
1.4. Valeur absolue
1.5. Partie entière
1.6. Les intervalles
1.7. Racine n-ième d’un nombre réel
1.8. Equations du second degré
2. Exercices

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1
1
2
3
3
3
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4
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Chapitre 2. Nombres complexes
1. Définitions et premières propriétés
1.1. Forme