Mouvement rectiligne uniformément accéléré
• Mouvement d’un point matériel se déplaçant en ligne droite avec une accélération constante

a(t)

v(t)

dv(t)
= a0 = constante dt – On cherche x(t)
– Solution: v(t) = a0 t + v0 , x(t) = a0 t2/2 + v0t + x0 ,

x

O

où v0 = v(0) = vitesse initiale où x0 = x(0) = position initiale

– On vérifie la solution (quels que soient v0 et x0) en calculant la dérivée seconde de x(t).
– Cas particulier: a0 = 0 mouvement rectiligne uniforme
OS, 01 novembre 2005

29

Complément
Au tableau

Equation différentielle: première sensibilisation
• Nous allons « intégrer » l’équation du mouvement rectiligne uniformément accéléré: d2x équation différentielle pour x ˙˙ dt = a0 la fonction inconnue x(t)
Cherchons v(t) et x(t) avec les conditions v(0)=0 et x(0)=0
• On écrit (avec un abus de notation): v = dx/dt dx = v dt a = dv/dt dv = a dt

« dt » = intervalle de temps très petit,
« dx » = variation de x pendant dt
« dv » = variation de v pendant dt

• On divise l’intervalle de temps de 0 à t en N parties égales dti = t/N= dt délimitant les temps ti = i dt: dt2 dt1 t0=0 OS, 01 novembre 2005

t1

dt4

dt3 t2 t3

dtN

dt5 t4 t5

……...

tN

1

tN=t
30

Complément

Equ. diff.: première sensibilisation (suite)
• Variation de v dans l’intervalle dti: dvi = a0 dti
N

limite
N

v(t) =

N

dvi = i=1 t

N

a0 dti = a0 i=1 t

dti = a0 t i=1 t

v(t) = dv' = a0 dt' = a0 dt' = a0 t
0

0

0

• Variation de x dans l’intervalle dti: dxi = v(ti) dti = a0 ti dti
N

x(t) =

N

N

N

a0 ti dti = a0

dxi = i=1 i=1

i (dti ) = a0 (dt)
2

i=1
2

i

2 i=1 t N(N+1) = a0 t2 N+1
= a0 N
2
2 N

()

limite
N
t

t

t

2 x(t) = dx' = a0 t' dt' = a0 t' dt' = a0 t
2
0
0
0
OS, 01 novembre 2005

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Galilée et la chute des corps
• Le mouvement « naturel » des corps est rectiligne uniforme (principe