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Concours commun Agro INA ENSA Ière composition option générale 1/2
M ATHÉMATIQUES
Durée : 3 heures PREM&RE COMPOSITION (Option générale)

Concours commun INA-ENS!

Le problème a pour objet I'étude de I'tquation différentielle

(€1

xy' + y = - . 2 1 +x

1

Dans la partie 1, on étudie et on construit dans un repère orthonormé d'axes Or, Oy les courbes intCgrales de (El.

Dans la partie II, on étudie une primitive de l'une des solutions de (€1.
PARTIE 1

t t u d e des courbes intCgrales de (El.
1. IntCgrer 1'Cquation diffkrentielle

(El sur

I-ap,OI

et s u r IO,-[.
:

2. Soit X un nombre rtel. On appelle
'
+

1a

l fonction dbfinie pour x non nul par a

CA(%) =

'lrctanx
X

et (Ca) la courbe d'bquation y = C,(X). non nulle du plan, i l passe une e t une seule

2.a. Montrer que, par tout point d'abscisse

courbe intbgrale.

2.b. DCterminer et reprksenter l'ensemble

(r) des

points P du plan tels que la courbe pas A

inttgrale passant par P ait, en P, une tangente de pente nulle. 2.c. On consid&re un point M d'abscisse non nulle, n'appartenant selon sa position par rapport à

(r). Dtterminer,

(r) et

B l'axe O y , le signe de la pente de la tangente

en M B la courbe intégrale passant par ce point.

3.a. Montrer que Co admet en O une limite finie t , qu'on dtterminera. On pose d&ormais
CO(O1 =

c. que les courbes
(Ca)

3.b. Montrer

et

(C-h) se correspondent
O

dans une

transformation

gComCtrique simple. Que peut-on dire de (C )?
4.a. Calculer #;(XI. On pose !;(XI
=
1 2
X

qa(x). Etudier les

variations de la fonction

Q

h

ainsi définie. En déduire, selon les valeurs de A, le signe de #;(XIen fonction de x .
4.b. On suppose hrO. Dresser le tableau de variations de
5.a. Soit