Nombre complexe

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Ch 6 Nombres complexes

Correction des exercices type Bac

Exercice 9 Bac S - Polynésie – Juin 2006
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( O ; [pic] ; [pic] ) ; unitégraphique 2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = – 1.
On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M’d’affixe z’ définie par : z’ = [pic].
On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.
1) Déterminer les points invariants de f c'est-à-dire les points M tels que M = f(M).
Celarevient à résoudre dans C l’équation z = [pic] qui équivaut à z2 + z = z – 1 qui équivaut à z2 = – 1.
Cette dernière équation a deux solutions complexes : z = i et z = – i donc les pointsinvariants par f ont pour affixes i et – i.
2) a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de – 1, (z’–1)(z +1) = – 2
(z’ – 1)(z + 1) = ([pic]– 1)(z + 1) = ([pic]–[pic])(z + 1) = ([pic])(z + 1)= – 2.
b) En déduire une relation entre [pic] et [pic], puis entre arg(z’– 1) et
arg(z + 1), pour tout nombre complexe z différent de – 1.
Traduire ces deux relations en termesde distances et d’angles.
Avec des modules, l’égalité démontré au 2)a) devient :
[pic] ou bien [pic].
On en déduit la relation entre [pic] et [pic] : [pic]
Comme z’ = zM’ , z = zM , 1 = zA et –1= zB on a : [pic] ou bien
[pic] ou encore [pic].
Donc, en termes de distances, cette relation devient : AM’= [pic].

Avec des arguments, l’égalité démontré au 2)a) devient :
arg((z’–1)(z + 1)) =arg(–2) ou bien arg(z’ – 1) + arg(z + 1) = [pic]
On en déduit la relation entre arg(z’ – 1) et arg(z + 1) : arg(z’ – 1) = [pic] – arg(z + 1)
On a : arg(zM’ – zA) = [pic] – arg(zM – zB) ou bienarg([pic]) = [pic] – arg([pic])
Donc, en termes de d’angles, cette relation devient : ([pic] ; [pic]) = [pic] – ([pic] ; [pic]).
c) Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et...
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