Compte-Rendu de TP du module EDP 1

Résolution numérique de l’équation de la chaleur en 2D

WALLACE Ranveig CATTOEN Céline GMM 4ème année, 2002-2003

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Introduction
Ce compte rendu présente les résultats de l’étude et de la résolution numérique de l’équation de la chaleur en 2D donnée par l’équation suivante :  ∂2u ∂2u  ∂u  − a 2 − a 2 = f pour (x, y) ∈ Ω et t ∈ [0, T ]   ∂t  ∂x ∂y    u(x, y, t) = g(x, y, t)       u(x, y, 0) = 0 pour (x, y) ∈ Ω

pour (x, y) ∈ ∂Ω et t ∈ [0, T ]

(1)

Cette étude se déroule en 3 parties qui comprennent l’étude du problème stationnaire, l’étude du problème instationnaire et enfin l’étude du problème global.

1 Partie I : Mise en équation et étude théorique du problème
1.1 Ecriture des équations
On considère l’équation de la chaleur en 2D (1) où Ω =] − 1, 1]×] − 1, 1]. Soit ω0 la solution stationnaire du problème (1), c’est à dire   −a∆u = f dans Ω  u=g sur ∂Ω ∆u = ∂2u ∂2u + ∂x2 ∂y 2

(2)

Soit v la solution du problème suivant :  ∂2u ∂2u  ∂u  − a 2 − a 2 = 0 pour(x, y) ∈ Ω et t ∈ [0, T ]   ∂t  ∂x ∂y    u(x, y, t) = 0       u(x, y, 0) = −w0 (x, y) pour(x, y) ∈ Ω

pour (x, y) ∈ ∂Ω et t ∈ [0, T ]

(3)

Notons que physiquement, des conditions aux limites homogènes (ou g constant) signifient que la température est maintenue constante au bord. On suppose que les problèmes (1), (2) et (3) sont tous bien posés, que l’on a existence et unicité des solutions et que les données f et g sont suffisament régulières pour obtenir des solutions continues en temps et en espace.

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1.2 Montrons que v + ω0 solution de (1)
Soit ω0 solution du problème (2) et soit v solution du problème (3). On pose u = v + ω0 et on va montrer que u est solution du problème (1) par linéarité. – Pour (x, y) ∈ Ω et t ∈ [0, T ] : 2 2 2ω 2ω ∂(v+ω0 ) ∂2 ∂2 − a ∂ (v+ω0 ) − a ∂ (v+ω0 ) = ∂v − a ∂xv − a ∂yv + ∂ω0 − a ∂∂x20 − a ∂∂y20 2 2 ∂t ∂x2 ∂y 2 ∂t ∂t ∂u ∂2u ∂2u ⇒ − a 2 − a 2 = 0 + f car ω0 verifie (2) et v