Concours ISUP 2009 ´ ´ Epreuve de MATHEMATIQUES III
Dur´e de l’´preuve : 3 heures e e
L’usage des calculatrices n’est pas autoris´ e

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INSTITUT DE STATISTIQUE ´ DE L’UNIVERSITE DE PARIS ´ CONCOURS D’ENTREE JUIN 2009
´ MATHEMATIQUES III Dur´e de l’´preuve : 3 heures e e L’usage des calculatrices n’est pas autoris´ e Dans tout le probl`me, a et b d´signent deux r´els tels que a < b ; et on se donne trois fonctions p, q, h, de e e e [a, b] dans R, ind´finiment d´rivables. e e On ´tudie quelques aspects du probl`me (P) suivant : e e ´ Etant donn´ un couple (α, β) de R2 , soit ` trouver toutes les fonctions y de [a, b] dans R, ind´finiment e a e d´rivables et telles que : e y(a) = α, y(b) = β et pour tout r´el x de [a, b], e y (x) + p(x)y (x) − q(x)y(x) = h(x). On notera : – E l’alg`bre des applications ind´finiment d´rivables de [a, b] dans R e e e – D l’application lin´aire de E dans lui-mˆme qui ` tout ´l´ment y de E associe : e e a ee D(y) = y + py − qy – ∆ le sous-espace de E constitu´ des ´l´ments y de E tels que e ee y(a) = y(b) = 0 – P une primitive de p.

Premi`re Partie e
(1) Exemple ; on suppose dans cette question seulement : ∀x ∈ [a, b] , p(x) = 0, q(x) = −1, h(x) = 0. (a) Donner une condition n´cessaire et suffisante sur (a, b) pour que, pour tout couple (α, β), (P) e admette une et une seule solution. (b) Montrez, par des choix convenables de a, b, α, β, qu’il est possible que (P) n’admette pas de solutions, ou qu’il en admette une infinit´. e (2) En citant avec pr´cision le th´or`me de Cauchy adapt´ ` l’´quation diff´rentielle du probl`me (P), e e e e a e e e montrer que ker D est un sous-espace vectoriel de E de dimension deux et que D est surjective. Dans toute la suite du probl`me, on suppose que la e fonction q est positive ou nulle sur [a, b]

Deuxi`me Partie e
On se propose de d´montrer que P admet une et une seule solution. e On munit E du produit scalaire , tel que pour tout (y, z) ∈ E × E, b y, z = a y(x)z(x) dx

et on d´finit