Concours isup

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Concours ISUP 2009 ´ ´ Epreuve de MATHEMATIQUES III
Dur´e de l’´preuve : 3 heures e e
L’usage des calculatrices n’est pas autoris´ e

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INSTITUT DE STATISTIQUE ´ DE L’UNIVERSITE DE PARIS ´ CONCOURS D’ENTREE JUIN 2009
´ MATHEMATIQUES III Dur´e de l’´preuve : 3 heures e e L’usage des calculatrices n’est pas autoris´ e Dans tout le probl`me, a et b d´signent deux r´els tels que a < b ; eton se donne trois fonctions p, q, h, de e e e [a, b] dans R, ind´finiment d´rivables. e e On ´tudie quelques aspects du probl`me (P) suivant : e e ´ Etant donn´ un couple (α, β) de R2 , soit ` trouver toutes les fonctions y de [a, b] dans R, ind´finiment e a e d´rivables et telles que : e y(a) = α, y(b) = β et pour tout r´el x de [a, b], e y (x) + p(x)y (x) − q(x)y(x) = h(x). On notera : – El’alg`bre des applications ind´finiment d´rivables de [a, b] dans R e e e – D l’application lin´aire de E dans lui-mˆme qui ` tout ´l´ment y de E associe : e e a ee D(y) = y + py − qy – ∆ le sous-espace de E constitu´ des ´l´ments y de E tels que e ee y(a) = y(b) = 0 – P une primitive de p.

Premi`re Partie e
(1) Exemple ; on suppose dans cette question seulement : ∀x ∈ [a, b] , p(x) = 0, q(x) = −1, h(x)= 0. (a) Donner une condition n´cessaire et suffisante sur (a, b) pour que, pour tout couple (α, β), (P) e admette une et une seule solution. (b) Montrez, par des choix convenables de a, b, α, β, qu’il est possible que (P) n’admette pas de solutions, ou qu’il en admette une infinit´. e (2) En citant avec pr´cision le th´or`me de Cauchy adapt´ ` l’´quation diff´rentielle du probl`me (P), e e e e a e ee montrer que ker D est un sous-espace vectoriel de E de dimension deux et que D est surjective. Dans toute la suite du probl`me, on suppose que la e fonction q est positive ou nulle sur [a, b]

Deuxi`me Partie e
On se propose de d´montrer que P admet une et une seule solution. e On munit E du produit scalaire , tel que pour tout (y, z) ∈ E × E,
b

y, z =
a

y(x)z(x) dx

et on d´finitl’endomorphisme L de E tel que, pour tout y ∈ E, e L(y) = q exp (P )y − (y exp (P )) = − exp (P )D(y) (on ne demande pas de justifier la derni`re ´galit´) e e e (1) D´montrer que pour tout (y, z) ∈ ∆, e y, L(z) = L(y), z y, L(y) 0 y, L(y) = 0 ⇒ y = 0 (2) Soit Φ l’application de E dans R2 telle que, pour tout y de E, Φ(y) = (y(a), y(b)) 2

(a) Montrer que la restriction de Φ ` ker D, que l’on noteraΦ1 , est bijective. a (b) En d´duire que e (i) E = ker D ⊕ ∆ (ii) la restriction de D ` ∆, que l’on note D1 , est bijective. a (3) Montrer que (P) a une unique solution ´gale ` : e a −1 D1 (h) + Φ−1 (α, β). 1 (4) L’hypoth`se q e 0 conduit donc ` ce que, pour tout (α, β), (P) admette une et une seule solution. a Pensez vous que la r´ciproque soit v´rifi´e ? (les r´ponses non argument´es ne seront pasprises en e e e e e compte).

Troisi`me Partie e
On note f l’unique solution de P. On va en obtenir une expression en suivant la m´thode dite de « variation des constantes ». e (1) Montrer qu’il existe deux ´l´ments u et v de ker D tels que ee u(a) = 0, u (a) = 1 v(b) = 0, v (b) = 1 (2) Montrer que u(b) et v(a) sont non nuls et que u et v sont lin´airement ind´pendants. e e (3) Soit w leurwronskien d´fini pour tout x de [a, b] par : e u(x) v(x) w(x) = u (x) v (x) (a) Montrer que pour tout x de [a, b], w(x) est non nul. (b) En d´duire qu’il existe deux ´l´ments ϕ et ψ de E tels que pour tout x de [a, b] on ait l’´galit´ e ee e e 2 dont les ´l´ments sont ´crits en colonne) : (dans R ee e f (x) u(x) v(x) = ϕ(x) + ψ(x) f (x) u (x) v (x) (4) Exprimer ϕ et ψ en fonction de u, v, w, h. (5) End´duire que pour tout r´el x de [a, b] on a : e e x b βu(x) αv(x) v(x)u(s)h(s) u(x)v(s)h(s) ds + ds + + f (x) = w(s) w(s) u(b) v(a) a x (6) Soit alors k l’application de [a, b] × [a, b] dans R telle que pour tout (x, s) ∈ [a, b] × [a, b] : u(x)v(s) si x s, k(x, s) = w(s) v(x)u(s) si s x, k(x, s) = w(s) (a) Montrer que k est continue. (b) Montrer que pour tout r´el x de [a, b] on a : e...
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