Optimisation statique. Lagrangien et conditions de Kuhn et TuckerTD d’Économie – Julien Grenet
École Normale Supérieure
Année 2007-2008
Vade mecum : Optimisation statique.
Lagrangien et conditions de Kuhn et Tucker
Ce vade mecum expose la méthode de résolution des programmes d’optimisation sta- tique (par opposition aux programmes d’optimisation dynamique qui ne seront pas abor- dés ici) dans le cas d’une fonction objectif multivariée. Les sections 1 et 2 donnent un certain nombre de définitions …afficher plus de contenu…

• M semi-définie négative ⇔ tous ses mineurs principaux Dk (et pas seulement diago- naux !) sont alternativement 6 0 (k impair) et > 0 (k pair).
1.3 Ensembles convexes
Ensemble convexe : Un ensemble S de R n est convexe ssi, ∀(x, y) ∈ S2 :
(1− λ)x+ λy ∈ S,∀λ ∈ [0, 1]
Intuitivement, un ensemble convexe est tel que tout segment reliant deux points de cet ensemble se trouve à l’intérieur de l’ensemble. La figure 1 donne un exemple d’ensemble convexe et un exemple d’ensemble non convexe.
Ensemble strictement convexe : Un ensemble S de R n est strictement convexe ssi,
∀(x, y) ∈ S2 :
(1− λ)x+ λy ∈ intérieurS,∀λ ∈]0, 1[
N.B. : La notion d’« ensemble concave » n’existe pas.
41.4 Fonctions concaves, fonctions convexes
Soit f une fonction de plusieurs variables définie sur un ensemble convexe …afficher plus de contenu…

• f convexe ⇔ f ′′(x) > 0 ∀x ∈ R.
• f ′′(x) > 0 ∀x ∈ R ⇒ f strictement convexe (attention : la réciproque n’est pas néces- sairement vraie).
Caractérisation pour les fonctions à plusieurs variables :
• f concave ⇔ la matrice hessienne de f est semi-définie négative ∀x̃ ∈ R
n.
• la matrice hessienne de f est définie négative ∀x ∈ R n ⇒ f strictement concave (atten- tion : la réciproque n’est pas nécessairement vraie).
• f concave ⇔ la matrice hessienne de f est semi-définie positive ∀x ∈ R
n.
• la matrice hessienne de f est définie négative ∀x ∈ R n ⇒ f strictement convexe (atten- tion : la réciproque n’est pas nécessairement vraie).
Exemple : Montrer que la fonction f(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2 + 2xy + 2xz