CALCUL MATRICIEL

I- Matrices et déterminants

I-1- Matrices

Définition : On appelle matrice, toute suite finie de nombres disposés en tableau rectangulaire de n  p nombres réels. Les nombres réels sont aussi appelés coefficients (i pour la ligne et j pour la colonne).

Exemple :

n=2 lignes p= 3colonnes A est une matrice (2 ;3)
Si n=p la matrice est dite carrée.

n=p=3 B est une matrice (3 ;3)
Plus généralement, on écrit la matrice sous cette forme :

C= La diagonale d’une matrice est composée des termes

Exemple : La diagonale est (2 ;-1 ; 4)

Matrice triangulaire supérieure, inférieure
Définition : Une matrice est dite triangulaire supérieure (respectivement inférieure) si et seulement si tous les coefficients sous (respectivement) sur la diagonale sont nuls.

Matrice triangulaire supérieure

Matrice triangulaire inférieure

Matrice diagonale
Une matrice est dite diagonale, si et seulement si, tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale. Matrice diagonale  Matrice triangulaire à la fois supérieure et inférieure.

Matrice symétrique
Une matrice est dite symétrique par rapport à sa diagonale principale (ensemble des tels que i=j) si  i  j =.

Exemple :

Matrice identité
La matrice identité est diagonale et ne comporte que des 1 sur sa diagonale.

Matrice transposée
La matrice transposée At. de la matrice A s’obtient à partir de la matrice A, en intervertissant les lignes et les colonnes de celle-ci.

A et At ont même diagonale, et les autres de At sont obtenus à partir de ceux de A par symétrie par rapport à la diagonale.

Matrice carrée inversible.
La matrice inverse d’une matrice A n’existe que si la matrice A est inversible et vérifie : (matrice identité)

Propriétés
Si est l’inverse de A, alors.
Si A et B sont inversibles alors A B est inversible et on a.
Lorsque A est inversible, l’équation admet une