M ODÉLISATION

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L3 INFO A3INF04 S IMULATION S TOCHASTIQUE T RAVAUX D IRIGÉS Brice Mayag

PARTIEL N OVEMBRE 2011
Année académique 2011/2012

Rappel : En dehors des calculatrices scientifiques, aucun document n’est autorisé durant l’épreuve. Les étudiants veilleront à éteindre leurs téléphones portables.

Exercice 1 : Lancers de pièces (10 points)
On considère l’expérience suivante : On lance n + 1 fois deux pièces équilibrés a et b. On note ai le résultat de la première pièce a pour le i-ème lancer, et bi le résultat de la deuxième pièce b pour le i-ème lancer. On a de plus P (ai = face) = P (bi = face). Le résultat du lancer de a n’influence pas celui de b et aucun lancer n’est influencé par les lancers précédents, ni suivants. On considère le couple de variables aléatoire (X, Y ) défini par : 0 si (a1 , b1 ) = (face, face) X =  1 si (a1 , b1 ) = (pile, face) ou (face, pile) et  2 si (a1 , b1 ) = (pile, pile)
  

1. Déterminer les loi de X et Y . Calculer les espérances E(X) et E(Y ), ainsi que les variances V (X) et V (Y ). 2. Montrer (par des calculs) que la loi du couple (X, Y ) est donnée par le tableau suivant : Y \X 0 1 2 0 1/8 1/8 0 1 1/8 1/4 1/8 2 0 1/8 1/8 3. Déterminer la covariance de (X, Y ). 4. Calculer la loi de Y conditionnellement à X = x où x ∈ {0, 1, 2}. En déduire l’espérance E(Y |X) de la deuxième composante conditionnellement à la première.

0 si (a2 , b1 ) = (face, face) Y =  1 si (a2 , b1 ) = (pile, face) ou (face, pile)  2 si (a2 , b1 ) = (pile, pile)
  

Exercice 2 : Marketing publicitaire (6 points)
Une entreprise aimerait lancer un produit sur le marché. Pour ce faire, l’entreprise va utiliser ses statistiques de marketing d’un produit similaire. Elle trouve que 3/4 des personnes dans la population cible ayant

été exposés à une campagne publicitaire pour l’ancien produit affirment l’avoir acheté tandis que 4/5 des personnes qui n’ont pas vu de publicité disent ne pas l’avoir acheté. 2/3 des personnes