Chapitre I

I ´  
I.. Calcul vectoriel
I..1. Produit vectoriel
Plaçons-nous dans un espace vectoriel euclidien à trois dimensions. En faisant subir des rotations identiques aux trois vecteurs d’une base orthonormée (ux , u y , uz ), on se retrouve toujours dans un des deux cas suivants :

Le choix d’une base directe permet de déterminer (cf. figure) le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) dans lequel est compté positivement l’angle entre deux vecteurs du plan (ux , u y ). Pour déterminer si une base est directe, on peut utiliser l’une ou l’autre des règles suivantes : Règle des trois doigts de la main droite. Si la base est directe, on peut aligner ses vecteurs avec les doigts de la main droite (∗1) : ux avec l’index (tendu), u y avec le majeur (à angle droit vers l’intérieur de la main) et uz avec le pouce (perpendiculaire aux deux autres). Règle du tire-bouchon de Maxwell. Si la base est directe, la mèche d’un tire-bouchon progresse dans le sens de uz lorsqu’on tourne la poignée d’un quart de tour de ux vers u y .

Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe.

Le produit vectoriel de a par b est le vecteur  a×b
1.

 a y bz − a z b y  az bx − ax bz . ax b y − a y bx

On obtiendrait une base indirecte avec la main gauche.

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Michel F

Dynamique des systèmes

Il est parfois également noté a ∧ b. Le produit vectoriel possède les propriétés suivantes : • Si a et b sont colinéaires, a × b = 0. En particulier, a × a = 0 ; • a × b est perpendiculaire à a et b ; • b × a = −a × b : le produit vectoriel n’est pas commutatif ; • (λ a ) × b = λ · (a × b) ; • (a + b) × c = a × c + b × c. On peut retrouver l’expression du produit vectoriel en utilisant les permutations circulaires suivantes :

u u u
x
y 
z
En développant, on obtient

u u u
y
z 
x

u u u
z 
x
y

(ax ux + a y u y + az uz ) × (bx ux + b y u y + bz uz ) = ax bx ux × ux + ax b