Chapitre

3

Géométrie élémentaire de l’espace
Pour bien aborder ce chapitre
De la même façon que dans le chapitre consacré à la géométrie plane 2, ce chapitre a pour vocations de vous familiariser avec le calcul algébrique et de vous donner des représentations pour les objets étudiés dans les chapitres 23 et 24 d’algèbre linéaire. Là encore, on pourra passer dans une première lecture les démonstrations qui ne sont pas marquées par un ♥ et se focaliser sur les autres parties.

3.1 Préambule
Dans tout ce chapitre on notera E l’ensemble des points de l’espace et V l’ensemble des vecteurs de l’espace. De la même façon que dans le plan, on peut additionner les vecteurs de l’espace ainsi que les multiplier par des scalaires réels. Pour résumer l’ensemble des propriétés de cette addition et de cette multiplication, qui sont les mêmes que pour les vecteurs du plan, on dit que le triplet (V , +, .) possède une structure d’espace vectoriel sur R.

3.1.1 Combinaisons linéaires de vecteurs, droites et plans dans l’espace
D ÉFINITION 3.1 ♥ Droite vectorielle, droite affine
− − – Soit → un vecteur non nul de l’espace. On appelle droite vectorielle engendrée (ou dirigée) par → l’ensemble D des u u →: − vecteurs de l’espaces colinéaires à u − D = → ∈ V | ∃λ ∈ R : v → = λ→ − − v u

− − – Soient A un point et → un vecteur de l’espace. La droite affine passant par le point A et de vecteur directeur → est u u −→ → − − sont colinéaires : l’ensemble D des points M de l’espace tel que les vecteurs AM et u

D = M ∈ E | ∃λ ∈ R :

−→ − − AM = λ→ u

Remarque 3.1 Se donnant deux points distincts A et B de l’espace, la droite de l’espace passant par les points A et B − → est la droite passant par A et dirigée par AB. D ÉFINITION 3.2 ♥ Combinaison linéaire de deux vecteurs − − − − − Soient →, → et → trois vecteurs de l’espace. On dit que → est combinaison linéaire des vecteurs → et → si et seulement u v w w u − v → = α→ + β→. − − − si il existe deux réels α, β ∈ R tels que w