Polynômes et équations du second degré
Savoir-faire :
Mettre un polynôme du second degré sous forme canonique
Déterminer les racines d'un polynôme du second degré
Etudier le signe d'un polynôme du second degré
Utiliser la forme la plus adaptée (développée, canonique, factorisée) d'un polynôme du second degré en vue de résoudre un problème
1. Polynômes du second degré
Définition
On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :
P(x)=ax2+bx+c
où a, b et c sont des réels avec a ≠0
Exemples

P(x)=2x2+3x−5 est un polynôme du second degré.
P(x)=x2−1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x−1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré-ou une fonction affine)
P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.
Théorème et définition
Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme :
P(x)=a(x−α)2+ β avec α=− b 2a et β=P(α)
Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme P.
Exemple

Soit P(x)=2x2+4x+5 α=− b
2a
=−
4
2×2
=−1
β=P(α)=P(−1)=2×(−1)2+4×(−1)+5=2−4+5=3

La forme canonique de P(x) est donc :
P(x)=2(x+1)2+3
2. Equations du second degré
Définition
On appelle racine d'un polynôme P une solution de l'équation P(x)=0
Remarque

Ne pas confondre les mots "racine" et "racine carrée" !
Définition
On appelle discriminant du polynôme P(x)=ax2+bx+c le nombre :
Δ=b2−4ac
Théorème
Si Δ > 0, le polynôme P admet deux racines distinctes : x1=
−b−√Δ
2a et x2=
−b+√Δ
2a
Si Δ=0, le polynôme P admet une racine unique : x0=
−b
2a
Si Δ < 0, le polynôme P n'admet aucune racine réelle.
Exemples

P1(x)=−x2+3x−2
Δ=9−4×(−1)×(−2)=1
P1 possède 2 racines : x1= −3−1
−2
=2 et x2=
−3+1
−2
=1
P2(x)=x2−4x+4
Δ=16−4×1×4=0
P2 possède une seule racine : x0=− −4
2
=2
P3(x)=x2+x+1
Δ=1−4×1×1=−3
P3 ne possède aucune racine.
Théorème (factorisation d'un