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Les probabilit´s e
Permutation
Ce cours porte exclusivement sur la notion de permutation relative au d´nombrement et aux probabilit´s. e e

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L’id´e g´n´rale e e e

Le d´nombrement d’un ´v´nement n’est autre que le calcul du nombre de e e e cas o` l’´v´nement consid´r´ peut se produire. u e e ee La probabilit´ d’un ´v´nement correspond au nombre de cas o` l’´v´nement e e e u e e consid´r´ peut se produire, divis´ par le nombre total de cas. ee e

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2.1

La th´orie e
Le calcul factoriel

Soit n ∈ N . Le calcul factoriel de n est d´fini par : e n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) ... × 3 × 2 × 1 Par convention, on consid`re que : 0! = 1 e

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2.2

La permutation

Soit E un ensemble fini de cardinal n ∈ N . Une permutation de E est un arrangement des n ´l´ments de E, et corresee pond a une bijection de E. `

2.3

Le nombre de permutations

Soit n ∈ N, et E un ensemble fini de cardinal n. Le nombre de permutations de l’ensemble E, ´gal a n!, repr´sente le nombre e ` e de fa¸ons de ranger dans un ordre quelconque les n ´l´ments de E. c ee

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Attention !

Une permutation est un arrangement particulier. Soit E un ensemble fini de cardinal n. Une permutation de E est un arrangement des n ´l´ments de E : ee n An = n!

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Les astuces

La question “combien y a-t-il de permutations” peut ˆtre traduite par e “combien y a-t-il de fa¸ons de ranger dans un ordre quelconque n ´l´ments”. c ee

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5.1

Exercices pratiques
Exercice 1
D´montrer que : e 6! × 7! = 10! Soit ξ = 10! ξ = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ξ = 10 × 9 × 8 × (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) ξ = 10 × 9 × 8 × 7! ξ = (2 × 5) × (3 × 3) × (2 × 4) × 7! ξ = 2 × 5 × 3 × 3 × 2 × 4 × 7! ξ = 2 × 3 × 5 × 4 × 3 × 2 × 7! ξ = (2 × 3) × 5 × 4 × 3 × 2 × 7! ξ = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 7! ξ = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 7! ξ = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × 7! ξ = 6! × 7!

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5.2

Exercice 2

Cinq personnes partent