II/ Lois de probabilités:

a) Loi de Bernouilli:

Soit X une variable aléatoire discrète.
On fait une expérience 1 fois et on considère X le nombre de succès obtenus.
X prend les valeurs 0 ou 1

Soit p = P(x=1) --> c’est la probabilité de succès
1.p = P(X=0) --> c’est la probabilité de l’échec
Ainsi on dit que X suit la loi de Bernouilli de paramètre P et on note x ~> B(p) (~> = suit)

Exemple: On lance une fois un dé et on s'intéresse a l’obtention du chiffre “3”

x:nombre de 3 obtenu

p = 1/6 X ~> B(1/6)

Paramètres statistiques:

soit X ~> B(p)
E(x) = p
V(x) = p(1-p) = p.q σ(x) = √(p.q)

E(x)= 1/6 V(x)=1/6x5/6 = 5/36 σ(x) =√(5/36)=√5/√36=√5/6

b) Loi binomiale:

Définition: soit x suit la loi de paramètre ~>B(p) Si on répète n fois et de manière indépendante la même expérience qui n’a que 2 éventualités possibles : - avoir les succès possible avec une probabilité - avoir l’échec possible avec une probabilité
On a ainsi le schéma ou le processus de bernouilli X suit la loi binomiale de paramètres n et p et on note: X~>B(n;p) avec P(X=k)=C[k|n].p[k].q[n-k] k=0,1,....,n où q=1-p

Exemple : On lance 10 fois un dé. X:nombre de fois ou le chiffre 6 apparait

1) Justifier que X suit la loi binomiale

2) Calculer la probabilité d’avoir: a) 4 fois le chiffre “6” b) au plus 2 fois le chiffre “6”.

n = 10 p = 1/6
Réponse question 1 :
On répète 10 fois la même expérience de manière indépendante et qui abouti a deux résultats possibles :
- obtenir le chiffre 6 avec la probabilité du succès p = 1/6
- ne pas obtenir le chiffre 6 avec la probabilité de l'échec q = 5/6 il s’agit donc d’un schéma de Bernouilli (ou processus)
X ~> B (10;1/6) avec
P(X=K)=C[k/10].1/6[k].5/6[n-k] ou