Produit vectoriel
L1 – PMI
23 novembre 2010
1 Aire algébrique d’un parallélogramme dans le plan
Dans un plan (affine euclidien), on choisit un repère orthonormé (O, u, v). On oriente le plan en décrétant que cette base est directe.
1.1 Aire géométrique
Considérons un parallélogramme ABCD non aplati dans ce plan. Notons α0 une mesure de l’angle géométrique B̂AD : c’est un réel strictement compris entre 0 et π. Notons H le projeté orthogonal de B sur la droite (AB) (faire un dessin !). …afficher plus de contenu…

On en déduit :
|x1y2 − x2y1| =
√
AB2AD2 − (x1x2 + y1y2)2 =
√
AB2AD2(1− cos2 α0), si bien que l’on a :
A = AB ·AD · sinα0 = |x1y2 − x2y1|.
On va maintenant “enlever” la valeur absolue.
11.2 Aire algébrique
On définit le déterminant de deux vecteurs u et v dans la base orthonormée (i, j) par : det(u, v) notation =
∣∣∣∣ x1 x2 y1 y2
∣∣∣∣ déf.
= x1y2 − x2y1, où u
(
x1 y1 ) et v
(
x2 y2 )
.
On vient de montrer que l’aire du parallélogramme ABCD est la valeur absolue du déter- minant det(
−→
AB,
−→
AD). Il est clair que le déterminant de deux vecteurs est nul SSI l’aire du parallélogramme correspondant est nulle SSI les vecteurs sont colinéaires. On peut démontrer que le déterminant ne change pas si on remplace la base (i, j) par une autre base …afficher plus de contenu…

Alors les coordonnées de leur produit vectoriel sont :
−→
AB ∧
−→
AD
 y1z2 − z1y2
−x1z2 + z1x2 x1y2 − y1x2
 .
On ne va vérifier cette formule que dans le cas particulier où z1 = z2 = 0. On verra un jour en cours la preuve en général. Dans le cas particulier, la formule est presque évidente. Notons w le vecteur de coordonnées (0, 0, x1y2 − y1x2) :
– les deux premières coordonnées du vecteur w sont nulles donc le vecteur est orthogonal à −→
AB et
−→
AD,
– la norme du vecteur est |x1y2 − y1x2|, qui est bien l’aire du parallélogramme,
– en distinguant deux cas selon le signe, on se convainc que la base (
−→
AB,
−→
AD,w) est directe.
Pour en déduire la formule en général, on pourrait utiliser le fait qu’elle est � la même �