a.

Comment se distinguent les « relations d’idées » et les faits ?

Les « relations d’idées » expriment des nécessités démonstratives. Elles ne font appel à rien d’autre qu’aux principes de la logique. Les faits en revanche, même lorsqu’ils ne sont pas directement observés, constituent toujours des cas particuliers dont la réalité est simplement admise. b. Comment démontre-t-on un théorème mathématique ? Quel point commun peut-on concevoir entre la démonstration du théorème du carré de l’hypoténuse et celle de la vérité arithmétique 3 x 5 = 30 : 2 ?

On démontre un théorème mathématique au moyen d’un raisonnement strictement logique menant d’un petit nombre de principes à une conclusion nécessaire. Dans les deux cas, il ne se trouve rien qui soit extérieur à la pensée : d’un côté la définition et les propriétés du triangle rectangle, de l’autre celle du nombre et des signes algébriques des différentes opérations arithmétiques. c. Est-il envisageable en mathématiques d’aboutir à une conclusion différente de celle que le raisonnement logique permet de prévoir ? Pourquoi ?

Dès lors que le raisonnement est logique, cela est inenvisageable puisque la conclusion déduite est strictement nécessaire. Une conclusion différente serait tout simplement non valide. d. Pourquoi la connaissance des faits ne peut-elle jamais être aussi évidente que la connaissance mathématique ?

La connaissance mathématique aboutit à des vérités de raison, « intuitivement ou démonstrativement » certaines. En revanche le sentiment d’évidence qui accompagne la connaissance des faits n’exclut pas la possibilité de l’erreur. Comme l’écrit Hume, « Le contraire d’un fait quelconque est toujours possible, car il n’implique pas contradiction » : ce sont de simples habitudes de pensée qui nous font tenir une proposition pour vraie plutôt que la proposition contraire. e. Comment savons-nous que le soleil se lèvera demain ? que cette affirmation est vraie ?

Nous le savons sur le fondement de