Lois limites Echantillonnage

1 Lois Limites
1.1 Exemple
On considère X1, . . . , Xn ,n variables aléatoires indépendantes et de même loi, de moyenne m et d'écart type s.
Soit alors = m et = s

1.2 Deux théorèmes fondamentaux

Th 1 : Loi faible des grands nombres
Soient X1; X2 ; . . . Xn n variables aléatoires indépendantes et de même loi de moyenne m alors la variable aléatoire vérifie pour tout réel positif e :

Signification: Lorsque n devient très grand, le nombre de valeurs de la variable aléatoire Yn qui sont éloignées de m devient négligeable devant celui des valeurs proches de m

Th 2 : Théorème de la limite centrée ou théorème limite central
Si X1; X2 ; . . . Xn sont n variables aléatoires indépendantes et de même loi de moyenne m et d'écart-type s alors la variable aléatoire suit approximativement une loi normale N (m, )

2 Loi d'échantillonnage Problème : Etude du lien entre les caractéristiques d'une population et celle d'un échantillon de cette population. Dans cette partie on suppose la population connue et l'on étudie les échantillons.

2.1 Distribution d'échantillonnage des moyennes
L'effectif de la population étudiée est N, sa moyenne est m et son écart-type s.
On prélève dans cette population un échantillon aléatoire de taille n. (tirage non exhaustif )
On va alors chercher à estimer la moyenne de cet échantillon ainsi que son écart-type.

On appelle distribution d'échantillonnage des moyennes la variable aléatoirequi, à tout échantillon de taille n prélevé avec remise, associe la moyenne de cet échantillon.
Pour n suffisamment grand X suit approximativement la loi N (m, )
Si les tirages sont exhaustifs X suit approximativement la loi N (m, )

2.2 Distribution d'échantillonnage des fréquences ou des pourcentages

L'effectif de la population est N. une certaine partie de pourcentage p possède une certaine propriété. Soit F la variable aléatoire qui, a tout échantillon