SESSION 2010

MPM2006

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ______________________

MATHEMATIQUES 2
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Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées. ***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

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QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS
Notations et objectifs : Dans tout le texte E désigne un R-espace vectoriel de dimension finie n 1. On note id l’endomorphisme identité de E, Mn (R) le R-espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille n. Si E1 et E2 sont des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires, c’est-à-dire E = E1 ⊕ E2 , on appelle projecteur sur E1 parallèlement à E2 l’endomorphisme p de E qui, à un vecteur x de E se décomposant comme x = x1 + x2 , avec (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 , associe le vecteur x1 . On rappelle que si A est une matrice de Mn (R), la matrice exponentielle de A est la matrice : exp(A) = Ak . k=0 k!
+∞

De même si u est un endomorphisme de E, l’exponentielle de u est l’endomorphisme : exp(u) = uk . k=0 k! 1/4
+∞

Dans les parties II. et III., on propose une méthode de calcul d’exponentielle de matrice à l’aide de projecteurs spectraux dans les cas diagonalisable et non diagonalisable. Dans la dernière partie IV., on utilise les projections orthogonales pour calculer des distances à des parties. Les quatre parties sont indépendantes.

I. Questions préliminaires 1. Soit les matrices A = 0 1 0 0 et B = . 0 0 1 0 Calculer exp(A), exp(B), exp(A) exp(B) et exp(A + B) (pour exp(A + B), on donnera la réponse en utilisant les fonctions ch et sh).

2. Rappeler sans démontration, une condition suffisante pour que deux matrices A et B