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SESSION 2010

MPM2006

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ______________________

MATHEMATIQUES 2
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Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées. ***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat estamené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

***

QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS
Notations et objectifs : Dans tout le texte E désigne un R-espace vectoriel de dimension finie n 1. On note id l’endomorphisme identité de E, Mn (R) leR-espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille n. Si E1 et E2 sont des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires, c’est-à-dire E = E1 ⊕ E2 , on appelle projecteur sur E1 parallèlement à E2 l’endomorphisme p de E qui, à un vecteur x de E se décomposant comme x = x1 + x2 , avec (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 , associe le vecteur x1 . On rappelle que si A est une matrice de Mn (R), la matriceexponentielle de A est la matrice : exp(A) = Ak . k=0 k!
+∞

De même si u est un endomorphisme de E, l’exponentielle de u est l’endomorphisme : exp(u) = uk . k=0 k! 1/4
+∞

Dans les parties II. et III., on propose une méthode de calcul d’exponentielle de matrice à l’aide de projecteurs spectraux dans les cas diagonalisable et non diagonalisable. Dans la dernière partie IV., on utilise lesprojections orthogonales pour calculer des distances à des parties. Les quatre parties sont indépendantes.

I. Questions préliminaires 1. Soit les matrices A = 0 1 0 0 et B = . 0 0 1 0 Calculer exp(A), exp(B), exp(A) exp(B) et exp(A + B) (pour exp(A + B), on donnera la réponse en utilisant les fonctions ch et sh).

2. Rappeler sans démontration, une condition suffisante pour que deux matrices A et Bde Mn (R) vérifient l’égalité exp(A) exp(B) = exp(A + B).

II. Un calcul d’exponentielle de matrice à l’aide des projecteurs spectraux, cas diagonalisable Soit A ∈ Mn (R) une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont : λ1 < λ2 < · · · < λr , où r désigne un entier vérifiant 1 r n.

3. Polynôme interpolateur de Lagrange : on note Rr−1 [X] le R-espace vectoriel des polynômes àcoefficients réels de degré inférieur ou égal à r − 1. On considère l’application linéaire φ de Rr−1 [X] dans Rr définie par : P → (P (λ1 ), P (λ2 ), . . . , P (λr )). Déterminer le noyau de φ, puis en déduire qu’il existe un unique polynôme L de Rr−1 [X] tel que pour tout i ∈ {1, . . . , r}, L(λi ) = eλi . 4. Pour i ∈ {1, . . . , r}, on définit le polynôme li de Rr−1 [X] par :
r

li (X) =
k=1 k=i

X − λk. λi − λk

(a) Calculer li (λj ) selon les valeurs de i et j dans {1, . . . , r}. (b) En déduire une expression du polynôme L comme une combinaison linéaire des polynômes li avec i ∈ {1, . . . , r}. 5. Une propriété de l’exponentielle : soit P une matrice inversible de Mn (R) et D une matrice de Mn (R). (a) Justifier que l’endomorphisme de Mn (R) défini par M → P M P −1 est une applicationcontinue. (b) En déduire que : exp(P DP −1 ) = P exp(D)P −1 . 2/4

6. Déduire des questions 3. et 5. que exp(A) = L(A). 7. On suppose que E est munie d’une base B et on désigne par v l’endomorphisme de E dont la matrice par rapport à B est A. Soit λ une valeur propre de v, et x un vecteur propre associé. Démontrer que pour tout polynôme P ∈ R[X], on a : P (v)(x) = P (λ)x. 8. Soit i ∈ {1, . . . , r},on note Ei = Ker(v − λi id) le sous-espace propre de v associé à λi . (a) Démontrer que l’endomorphisme de E, pi = li (v) est le projecteur sur Ei , parallèlement
r

à
k=1 k=i

Ek (on dit que les pi sont les projecteurs spectraux de v).

(b) En déduire une expression de exp(A) comme une combinaison linéaire de matrices de projecteurs.

III. Un calcul d’exponentielle de matrice à...
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