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PSI MATHEMATIQUES (` rendre le 16 septembre 2011) a

Soit E un K espace vectoriel (K = R ou C) et u un endomorphisme de E. On d´signe par keru le noyau de u et Imu l’image de u. e Pour tout entier k strictement positif, uk d´signe l’endomorphisme u ◦ u ◦ u · · · ◦ u (k e fois) et u0 d´signe l’application identique de E. e

PREMIERE PARTIE
ADans cette partie, E d´signe un espace vectoriel sur R dont une base est B = (e1 , e2 , e3 , e4 ). e Soit u l’endomorphisme de E tel que la matrice de u par rapport ` cette base est : a   1 1 0 0 −1 −1 0 0  M = 0 0 −1 1  0 0 1 −1 1. D´terminer le rang de u et donner une base de Imu, une base de ker u en fonction e des vecteurs de la base B. 2. Calculer M 2 , M 3 et montrer que pour tout entier p matrice A telle que : M p = αp A. Expliciter alors M p . 3. (a) Donner une base, en fonction des vecteurs de la base B, de chacun des sousespaces vectoriels suivants : Imu2 , keru2 , Imu3 , keru3 . 2, il existe un r´el αp et une e

(b) D´terminer : ∀k 2, keruk , Imuk . e (c) Montrer que E = keru2 ⊕ Imu2 . BSoit K[X] l’espace vectoriel des polynˆmes ` coefficients dans le corps K et d l’endomorphisme o a de K[X] qui ` un polynˆme P associe son polynˆme d´riv´ P . a o o e e 1. d est-il injectif ? d est-il surjectif ? Comment peut-on en d´duire que K[X] n’est e pas de dimension finie ? 2. D´terminer : ∀q ∈ N∗ , keruq et Imuq . e 1

DEUXIEME PARTIE
Soit u un endomorphisme de E, pour tout entier naturel p, on notera Ip = Imup et Kp = kerup . 1. Montrer que : ∀p ∈ N, Kp ⊂ Kp+1 et Ip+1 ⊂ Ip . Ip

2. On suppose que E est de dimension finie et u injectif. D´terminer : ∀p ∈ N, e et Kp . 3. On suppose que E est de dimension finie n non nulle et u non injectif. (a) Montrer qu’il existe un plus petit entier naturel r (b) Montrer qu’alors : Ir = Ir+1 et que : ∀p ∈ N, (c) Montrer que : E = Kr ⊕ Ir .

n tel que : Kr = Kr+1 .

Kr = Kr+p et Ir = Ir+p .

4. Lorsque E n’est pas de dimension finie, existe-t-il un plus