Continuité et limites Continuité
4ème Math  et limites 4

L’essentiel du cours

ème

Math



L’essentiel du cours
I/ Opérations sur les limites
Soit L et L deux réels.
Les résultats qui suivent concernent les opérations sur les limites en un réel ou à l’infini. lim f

lim g

lim  f + g 

L
L




L

L



L  L





lim f

lim f

L

L







lim f

lim g

lim  f  g 

L






L
L  0
L  0




L  L






lim f
L




lim f

lim g

L

L  0



L
L

L  0
L  0



L0

0

f  lim  
g
L
L



0
0
 ( On applique la règle des signes). Remarque :

0
   , , 0   et sont des formes indéterminées.

0
Théorème
* Soit P  x   a n x n  a n 1x n 1  ......  a1x  a 0 un polynôme de degré n  1 .

Alors lim P  x   lim a n x n et x  

* Soit f  x  

x  

a n x  a n 1x n bp x  bp1x p Alors lim f  x   lim x  

Théorème sin x lim 1 ; x 0 x

x  

n 1 p 1

lim P  x   lim a n x n .

x  

x  

 ......  a1x  a 0
 ......  b1x  b0

an xn bp x p

et

lim f  x   lim

x  

1  cos x
0;
x 0 x lim

une fonction rationnelle avec n  * et p  * .

x  

lim

1  cos x

x 0

x

2

an xn bp x p



.

1
2

II/ Branches infinies
Définition
Soit f une fonction et Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On dit que Cf admet une branche infinie dès que l’une des coordonnées d’un point de Cf tend vers l’infini.

C’est-à-dire lim f  x    ou lim f  x   L ou lim f  x    . x a

x 

x 

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

Continuité et limites 4 ème Math



L’essentiel du cours

Nature d’une branche infinie
Soit f une fonction et Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

* Si lim f  x    ou lim f  x    ou lim f  x    ou lim f  x    x a 

x a 

x a 

x a 

alors la droite D : x  a est une asymptote verticale à Cf . x =a

y

x

O

x

O
Cf

Cf

lim f  x   

lim f  x   

x a 

x a 

y

x