III. Méthode du simplexe
3.1) Exemple avec deux variables
Soit le système S1:
-2x1 + x2 + t1 = 1 x1 + 3x2 + t2 = 10 x1 + t3 = 4 x1 , x2 , t1, t2 , t3 ³ 0 max z = -x1 + x2
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Ici, x1 = 0 , x2 = 0 est une solution de base admissible avec z = 0, c'est à dire qu'elle fait partie de la zone graphique concernée et qu'elle répond à toutes les conditions posées.
On a les variables hors base: x1 , x2 et les variables en base: t1 , t2 , t3
Essayons de faire croître x2 , avec x1 = 0 t1 = 1 –x2 ³ 0 ® x2 £ 1 t2 = 10 –3x2 ³ 0 ® x2 £ 10/3 t3 = 4 ® pas de contrainte
On trouve donc une deuxième solution admissible: x1 = 0 , x2 = 1 , t1 = 0 , t2 =7 , t3 = 4 z = 1 = x2 - x1 hors base base
On veut écrire tout le monde en fonction de x1 et de t1.
Donc le système S2: x2 = 1 + 2x1 - t1 t2 = 10 - x1 – 3(1 + 2x1 – t1) = 7 - 7x1 + 3t1 t3 = 4 - x1 x1 , x2 , t1, t2 , t3 ³ 0 z = 1 + 2x1 - t1 - x1 = 1 + x1 – t1
2 ièm e étape:
Faisons croître x1 (avec t1 = 0):
S2 devient donc avec t1 = 0: x2 = 1 + 2x1 ³ 0 ® x1 ³ -1/2 t2 = 7 - 7x1 ³ 0 ® x1 £ 1 t3 = 4 - x1 ³ 0 ® x1 £ 4
On fait rentrer x1 dans la base en posant x1 = 1, et on a donc hors base: t1 = 0 , t2 = 0 et en base x2 = 3 , t3 = 3 , z = 2
Donc le système S3: x1 = 1/7 ( 7 + 3t1 - t2) x2 = 1 + 2/7 (7 + 3t1 - t2) - t1 t3 = 4 – 1/7 (7 +3t1 - t2) x1 , x2 , t1, t2 , t3 ³ 0 z = 1 + 1 + 3/7 t1 – 1/7 t2 - t1 = 2 –4/7 t1 – 1/7 t2
Et ici la solution optimale est donc maximum !!!
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3.2) Méthode des tableaux
a) PL1 sous forme standard x , x , x , x , x 0 x x 4 x 3x x 10
2x x x 1 max z x x
1 2 3 4 5
1 5
1 2 4
1 2 3
1 2