SUITE

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 24 (10544 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 30 octobre 2015
Lire le document complet
Aperçu du document
Exo7
Suites
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile

** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1 ***IT
Soient (un )n∈N une suite réelle et (vn )n∈N la suite définie par : ∀n ∈ N, vn =

u0 +u1 +...+un
.
n+1

1. Montrer que si la suite (un )n∈Nvers un réel , la suite (vn )n∈N converge et a pour limite . Réciproque ?
2. Montrer que si la suite (un )n∈N est bornée, la suite (vn )n∈N est bornée. Réciproque ?
3. Montrer que si la suite (un )n∈N est croissante alors la suite (vn )n∈N l’est aussi.
Correction

[005220]

Exercice 2 ***
Soit (un )n∈N une suite réelle. Montrer que si la suite (un )n∈N converge au sens de C ÉSARO et est monotone,alors la suite (un )n∈N converge.
Correction

[005221]

Exercice 3 **IT
Pour n entier naturel non nul, on pose Hn = ∑nk=1 1k (série harmonique).
1. Montrer que : ∀n ∈ N∗ , ln(n + 1) < Hn < 1 + ln(n) et en déduire limn→+∞ Hn .
2. Pour n entier naturel non nul, on pose un = Hn − ln(n) et vn = Hn − ln(n + 1). Montrer que les suites
(un ) et (vn ) convergent vers un réel γ ∈ 12 , 1 (γ est appelée laconstante d’E ULER). Donner une valeur
approchée de γ à 10−2 près.
Correction

[005222]

Exercice 4 **
Soit (un )n∈N une suite arithmétique ne s’annulant pas. Montrer que pour tout entier naturel n, on a ∑nk=0 uk u1k+1 =
n+1
u0 un+1 .
Correction

[005223]

Exercice 5 **
1
Calculer limn→+∞ ∑nk=1 12 +22 +...+k
2.
Correction

[005224]

Exercice 6 ***
Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. Onpose u0 = a et v0 = b puis, pour n entier naturel donné,

n
un+1 = un +v
et vn+1 = un+1 vn . Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes et que leur limite commune
2
est égale à

b sin(arccos( ba ))
arccos( ab ) .

Correction

[005225]

1

Exercice 7 **
Limite quand n tend vers +∞ de
1.

sin n
n ,
n

2. 1 + 1n ,
3.
4.

n!
nn ,
E ((n+ 21 )2 )
E ((n− 12 )2 ))

,


n 2
n ,


6. n + 1 −n,

5.

7.

∑nk=1 k2
,
n3
2k

8. ∏nk=1 2k/2 .
Correction

[005226]

Exercice 8 **


Etudier la suite (un ) définie par n + 1 − n =

√1
.
2 n+un

Correction

[005227]

Exercice 9 **T Récurrences homographiques
Déterminer un en fonction de n quand la suite u vérifie :
1. ∀n ∈ N, un+1 =
2. ∀n ∈ N, un+1 =

un
3−2un ,
4(un −1)
un

(ne pas se poser de questions d’existence).

Correction

[005228]Exercice 10 **
Soient (un ) et (vn ) les suites définies par la donnée de u0 et v0 et les relations de récurrence
un + 2vn
2un + vn
et vn+1 =
.
3
3
Etudier les suites u et v puis déterminer un et vn en fonction de n en recherchant des combinaisons linéaires
intéressantes de u et v. En déduire limn→+∞ un et limn→+∞ vn .
un+1 =

Correction

[005229]

Exercice 11 **
Soient (un ), (vn ) et (wn ) les suitesdéfinies par la donnée de u0 , v0 et w0 et les relations de récurrence
un+1 =

vn + wn
un + wn
un + vn
, vn+1 =
et wn+1 =
.
2
2
2

Etudier les suites u, v et w puis déterminer un , vn et wn en fonction de n en recherchant des combinaisons
linéaires intéressantes de u, v et w. En déduire limn→+∞ un , limn→+∞ vn et limn→+∞ wn .
Correction

[005230]

Exercice 12 ***
Montrer que les suites définiespar la donnée de u0 , v0 et w0 réels tels que 0 < u0 < v0 < w0 et les relations de
récurrence :
3
un+1

=


1
1
1
un + vn + w n
,
+ +
et vn+1 = 3 un vn wn et wn+1 =
un vn wn
3
2

ont une limite commune que l’on ne cherchera pas à déterminer.
Correction

[005231]

Exercice 13 ***

Soit u une suite complexe et v la suite définie par vn = |un |. On suppose que la suite ( n vn ) converge vers unréel
positif l. Montrer que si 0
< 1, la suite (un ) converge vers 0 et si > 1, la suite (vn ) tend vers +∞. Montrer
que si = 1, tout est possible.
Correction

[005232]

Exercice 14 ***
1. Soit u une suite de réels strictement positifs. Montrer que si la suite ( uun+1
) converge vers un réel , alors
n

n
( un ) converge et a même limite.
2. Etudier la réciproque.
3. Application : limites de
n ,...