SESSION 2002

E3A

Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 3 MP

Partie 0. Un exemple.
1. On a M = diag(1, 2, . . . , n). Soit alors A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (C). La matrice AM est la matrice (jai,j )1≤i,j≤n et la matrice MA est la matrice (iai,j )1≤i,j≤n . Par suite, AM = MA ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , iai,j = jai,j ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , (i − j)ai,j = 0 ⇔ ∀i = j, ai,j = 0. On a montré que ⇔ A ∈ Dn (C).

C(M) = Dn (C).

2.

Donc immédiatement, dim(C(M)) = n.

Partie I. Commutant d’un endomorphisme diagonalisable.
1. Soit v ∈ C(u). Soient i ∈ 1, p et x ∈ Eλi (u). Puisque v commute avec u, v commute encore avec f − λi Id et (f − λi Id)(v(x)) = v((f − λi Id)(x)) = v(0) = 0. Ainsi, ∀i ∈ 1, p , ∀x ∈ E, (x ∈ Eλi (u) ⇒ v(x) ∈ Eλi (u)) et on a donc montré que si v ∈ C(u), chaque Eλi (u) est stable par v.

2. 3.

Soit i ∈ 1, p . ui est l’homothétie de rapport λi . Si v ∈ C(u), d’après 1., pour chaque i, la restriction vi de v à Eλi (u) est un endomorphisme de Eλi (u). Dans une base p i=1

adaptée à la somme directe E = ⊕ Eλi (u), la matrice de v a la forme voulue. Réciproquement, s’il existe une base adaptée à la somme directe E = ⊕ Eλi (u) dans laquelle la matrice de v est de la i=1 p

forme de l’énoncé, chaque vi est un endomorphisme du Eλi (u) correspondant. Comme ui est une homothétie, ui et vi commutent. Ainsi, v ◦ u et u ◦ v coïncident sur chaque Eλi (u) et comme E est somme directe de ces sous-espaces, on a bien u ◦ v = v ◦ u.  V1 .. . 0 

4.

0 Vp 2 lui-même isomorphe à Mn1 (C) × ... × Mnp (C) qui est de dimension n1 + ... + n2 . p p  C(u) est donc isomorphe à l’espace des matrices de la forme 

  où ∀i ∈ 1, p , Vi ∈ Mni (C),

dim(C(u)) = i=1 n2 . i

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5.

Chaque ni est supérieur ou égal à 1. Donc ∀i ∈ 1, p , n2 ≥ ni puis i p p

dim(C(u)) = i=1 n2 ≥ i i=1 ni = n.

dim(C(u)) ≥ n.