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SESSION 2002

E3A

Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 3 MP

Partie 0. Un exemple.
1. On a M = diag(1, 2, . . . , n). Soit alors A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (C). La matrice AM est la matrice (jai,j )1≤i,j≤n et la matrice MA est la matrice (iai,j )1≤i,j≤n . Par suite, AM = MA ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , iai,j = jai,j ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , (i − j)ai,j =0 ⇔ ∀i = j, ai,j = 0. On a montré que ⇔ A ∈ Dn (C).

C(M) = Dn (C).

2.

Donc immédiatement, dim(C(M)) = n.

Partie I. Commutant d’un endomorphisme diagonalisable.
1. Soit v ∈ C(u). Soient i ∈ 1, p et x ∈ Eλi (u). Puisque v commute avec u, v commute encore avec f − λi Id et (f − λi Id)(v(x)) = v((f − λi Id)(x)) = v(0) = 0. Ainsi, ∀i ∈ 1, p , ∀x ∈ E, (x ∈ Eλi (u) ⇒ v(x) ∈ Eλi (u)) et on adonc montré que si v ∈ C(u), chaque Eλi (u) est stable par v.

2. 3.

Soit i ∈ 1, p . ui est l’homothétie de rapport λi . Si v ∈ C(u), d’après 1., pour chaque i, la restriction vi de v à Eλi (u) est un endomorphisme de Eλi (u). Dans une base
p i=1

adaptée à la somme directe E = ⊕ Eλi (u), la matrice de v a la forme voulue. Réciproquement, s’il existe une base adaptée à la somme directe E= ⊕ Eλi (u) dans laquelle la matrice de v est de la
i=1 p

forme de l’énoncé, chaque vi est un endomorphisme du Eλi (u) correspondant. Comme ui est une homothétie, ui et vi commutent. Ainsi, v ◦ u et u ◦ v coïncident sur chaque Eλi (u) et comme E est somme directe de ces sous-espaces, on a bien u ◦ v = v ◦ u.  V1 .. . 0 

4.

0 Vp 2 lui-même isomorphe à Mn1 (C) × ... × Mnp (C) qui est dedimension n1 + ... + n2 . p
p

 C(u) est donc isomorphe à l’espace des matrices de la forme 

  où ∀i ∈ 1, p , Vi ∈ Mni (C),

dim(C(u)) =
i=1

n2 . i

http ://www.maths-france.fr

1

c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.

5.

Chaque ni est supérieur ou égal à 1. Donc ∀i ∈ 1, p , n2 ≥ ni puis i
p p

dim(C(u)) =
i=1

n2 ≥ i
i=1

ni = n.

dim(C(u)) ≥ n.Autre solution. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
p 2 p p

1 × ni
i=1 p p


i=1

12
i=1

n2 i

(∗).

Comme u est diagonalisable, on a
i=1

1 × ni = n et
i=1

n2 = dim(C(u)) et d’autre part, p est le nombre de valeurs propres i

deux à deux distinctes ce qui impose 1 ≤ p ≤ n. Donc, (∗) ⇒ n2 ≤ p × dim(C(u)) ⇒ dim(C(u)) ≥ Remarque. L’inégalité dim(C(u)) ≥ n2 n2 ≥ = n. pn

n2 est plus précise que l’inégalité dim(C(u)) ≥ n. p

6. Si u est l’endomorphisme de Cn dont la matrice dans la base canonique est la matrice M de la partie 0, u est diagonalisable et dim(C(u)) = n.

Partie II. Commutant d’un endomorphisme nilpotent d’indice 2
1. On a u2 = 0 ⇔ ∀x ∈ E, u(u(x)) = 0 ⇔ ∀x ∈ E, u(x) ∈ Keru ⇔ Imu ⊂ Keru. n = dim(Keru) + dim(Imu) ≥ 2dim(Imu) = 2r, et donc, r≤ n. 2

D’après le théorème du rang,

′ ′ 2. 1 ère solution. (où l’on redémontre le théorème du rang). Soit (e1 , ..., er ) une base de G supplémentaire de Keru r dans E et soit (α1 , ...αr ) ∈ C . r ′ αi u(ei ) = 0 ⇒ u r ′ αi ei i=1 r r ′ αi ei ∈ Keru ∩ G ⇒ ′ αi ei = 0 ⇒ ∀i ∈ 1, r , αi = 0.

i=1

=0⇒

i=1

i=1

′ ′ ′ La famille (u(ei ))1≤i≤r est donc une famille libre de Imu. D’autrepart, en notant (er+1 , . . . , en ) une base de Ker(u), la ′ ′ famille (e1 , . . . , en ) est une base de E (car G est un supplémentaire de Ker(u)) et ′ ′ ′ ′ ′ ′ Im(u) = Vect(u(e1 ), . . . , u(er ), u(er+1 ), . . . , u(en )) = Vect(u(e1 ), . . . , u(er )), ′ ce qui montre que la famille (u(ei ))1≤i≤r est une famille génératrice de Im(u) et finalement que ′ la famille (u(ei ))1≤i≤r est une basedeImu.

2 ème solution. (en supposant acquis l’énoncé général du théorème du rang). On sait que la restriction de u à G, supplémentaire de Ker(u) dans E, réalise un isomorphisme de G sur Im(u). On en déduit que l’image par u de la base ′ ′ ′ (e1 , . . . , er ) de G est une base de Im(u). On a de nouveau montré que la famille (u(ei ))1≤i≤r est une base deImu. http ://www.maths-france.fr 2
c...
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