CHAPITRE I
Fonctions d’une variable réelle
1. Limites
Définition 1.1
Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D.On dit que f admet ` pour limite lorsque x tend vers x0si « f .x/ se rapproche de ` lorsque x se rapproche de x0 ».
On note lim x!x0 f .x/ D `.
Définition 1.2
Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D.On dit que f admetC1 pour limite lorsque x tend vers x0, si
« f .x/ est de plus en plus grand lorsque x se rapproche de x0 »
On note lim x!x0 f .x/ D C1.
Définition 1.3
Soit f WR ! R une fonction.On dit que f admet ` pour limite lorsque x tend versC1si
« f .x/ se rapproche de ` lorsque x est de plus en plus grand »
On note lim x!C1 f .x/ D `.
2. Continuité
Définition 2.1
Soit f WD ! Rune fonction et x0 2 D.On dit que f est continue en x0
• si f admet une limite quand x tend vers x0
• et si cette limite est égale à f .x0/.
C’est-à-dire,
f continue en x0 ” lim x!x0 f .x/ D f .x0/
Remarque
On dit que f est continue sur un intervalle a; bŒsi f est continue en tout point x0 de a; bŒ.
Exemple
Les fonctions polynômes x 7! a C bx C cx2 C


C dxn sont continues sur R.
3. Dérivée d’une fonction
Définition 3.1
Soit f WD ! R une fonction et x0; x1 2 D. On appelle taux de variation de f entre x0 et x1 le rapport
 D f .x1/ f .x0/ x1 x0 x0 x1 f(x0) f(x1)
Δ x
Δ f
Pente = τ
Définition 3.2
Soit f WD ! R et x0 2 D. On dit que f est dérivable en x0 si la limite ` D lim x!x0 f .x/ f .x0/ x x0 existe et est finie. On la note alors f 0.x0/.
On appelle dérivée de f en x0 le réel f 0.x0/. x0 f(x0)
T Pente = f '(x0)
Remarque
Si on pose h D x x0 (ou x D x0 C h ), on obtient f 0.x0/ D lim x!x0 f .x/ f .x0/ x x0
D lim h!0 f .x0 C h/ f .x0/ h La courbe représentative de f admet au point de coordonnées x0; f .x0/


une tangente de pente f 0.x0/ et d’équation y D f .x0/ C .x x0/f 0.x0/ :
On dit que f est dérivable sur D si elle est dérivable en tout point x0 de D.
On appelle alors fonction dérivée de f