Transformations mathématiques Révisions avril 2009

I. Calcul d'intégrales et techniques utiles
Intégration par partie
uv'=u ' vv' u⇒ v' u=uv '−u' v⇒∫ v'u=[uv] – ∫ vu'

Exemple : I=∫ x ln x dx 1 u x=ln x u'  x= x

Exercice : I 2 =2 x sin x

x v  x= 2

2

v' x =x

I=uv – ∫ u' v⇒ I=ln x . x 1 I= ln x – ∫ x dx 2 2 x 1x I= ln x – 2 2 2
2 2 2

x 1x –∫ dx 2 x 2

2

2

x2 1 ⇒ I= ln x –  2 2

Emilie Cravero Avril 2009

Transformations mathématiques Révisions

Décomposition de fractions en éléments simples
Principe : Transformer une fraction compliquée qu'on ne sait pas intégrer en somme de fractions plus simples. Méthode : • Décomposer le dénominateur en produit de facteurs degré 1 ou 2, notées F 1 , F 2 , etc. • Ecrire la fraction à décomposer comme une somme de fractions dont : • les dénominateurs sont les F 1 , F 2 , etc. • les numérateurs sont de la forme (avec A et B réels) : A si F est de degré 1 A xB si F est de degré 2 • On trouve les coefficients A et B par identification avec la forme initiale de la fraction
2

10 x 12 x20 x3 3 x5 Exercice : Simplifier 2 , 2 et x 3 x−4 x – 3x−40 x3 – 8

Emilie Cravero Avril 2009

Transformations mathématiques Révisions

Trigonométrie cos x = e e 2 ix −ix

Formules d'Euler :

eix −e−ix sin x= 2i et

Formules toujours utiles à connaître : sin ab=sin a cos bsin b cos a cos  ab=cos a cos b−sin asin b

3 2 Exercices : Linéariser A=cos x et B=cos x sin x

Emilie Cravero Avril 2009

Transformations mathématiques Révisions

II. Séries de Fourier
Principe: Écrire une fonction 2  ­ périodique comme une somme de cosinus et de sinus: f  t = Formules à connaître par cœur : a0 2
∞

 ∑ an cos  nt  +b n sin  nt  n= 1

1 a0= ∫ f t dt  0

2

1 an= ∫ f tcos nt dt  0

2

1 bn = ∫ f tsin  nt dt  0

2

Propriétés très utiles :
• • • •

Si f est paire, alors bn =0 ∀ n∈ℕ Si f est