Topologie

Générale

- UE045

- Année

2009-2010 2009

Contrôle

continu Durée

- le 14 octobre : 1 heure

Les documents, calculatrices non autorisés.

Questions

de cours

Soit (E, T) un espace topologique.

1. De combien de topologies peut-on munir E s'il contenait 2 éléments? 2. Soit A un sous ensemble de E. Vérifier que GEA = GgA. et que

GEA.

c;A =

o

3. Soit maintenant BeA c E. Vérifier que la topologie (TA)B induite par TA sur B n'est autre que la topologie TB induite par T sur B.

4. On suppose que E d'intervalles on le munit de la topologie usuelle des produits ouverts. Que peut-on dire sur les sous-ensembles

= IR2,

A = {(x, y) E E, x2 - y2 < 2},

B = {(x, y) E A, I ::; (x

+ y)(x - y)}.

Exercice 1 - Vérifier si oui ou non (Z, 0) où 0 = {0, {l, 2}, {l, 2, 3}, {-4}, {l, 2, 3, -4}, Z} est un espace topologique? - On munit IR de la topologie usuelle. Quelle est la nature du sousensemble de IR A = {x E Z, I - x2 > o} .

Exercice 2 Soit (E, T) un espace topologique compact. Ci) Vérifier rapidement que de toute famille de fermés pour T d'intersection vide, on peut extraire une sous-famille de fermés d'intersection vide. Cii) Soit maintenant f une application continue de E dans un espace topologique séparé (F, T'), et soient BeA c E. Montrer que si A est compact et B férmé dans E, alors f(A) et f(B) sont tous deux des compacts de F.

Fin.

Topologie

Générale

- UE045

- Année

2009-2010 2009

Contrôle

continu - le 25 novembre Durée : 1 heure

Les documents,

calculatrices non autorisés.

Questions

de cours

Soit E un espace topologique séparé.

1. Soit (xn) une suite convergente de E et soit e sa limite. Montrer que l'ensemble C = {e} U {xn, n E N} est compact. 2. On suppose que (xn) est de Cauchy. Montrer que la suite est conver-

gente si et seulement si elle admet une sous-suite convergente. 3. Soient A et B deux sous-ensemble~ de E d'intersection trer que A U B est