Ln maths

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Chapitre 5

La fonction logarithme népérien
Pour prendre un bon départ (page 118)
Activité 1
2 1. a) f (1 × 1) = f (1) + f (1) donc f (1) = 0 .
b) f est dérivable sur ]0 ; + ∞ [ donc g est dérivable et pour tout réel y > 0 , g ′(y) = x f ′(xy) = f ′(y) . c) Donc pour réel x > 0 , g ′(1) = f ′(1) = x f ′(x) , donc : f ′(1) f ′(x) = ----------- . x 2. a) Pour tout réel y > 0 , h ′(y) = x f′(xy) – f ′(y) . kk -- -- Or f ′(xy) = ----- et f ′(y) = -- , donc h ′(y) = k – k = 0 . xy y y y b) Donc h est une fonction constante telle que : h (y) = h (1) = f (x) – f (1) = f (x) = c , et f (xy) = f (x) + f (y) .

Activité 2
1. a) S(x + h) – S(x) = aire(M1 N1 HA) – aire(MNHA) = aire(MM1 N1 N) . h h b) aire(M1 N1 NP) = ------------ et aire(MNN1 P1) = -- , donc : x +h x h ------------ N S(x + h)– S(x) N h . -x +h x S(x + h ) – S(x ) -c) lim -------------------------------------- = 1 . h h→0 x 2. a) Résultat évident. b) Voir la question 1. S(1 + h ) – S(1) 3. lim + -------------------------------------- = 1 . h h→0

Travaux dirigés (page 129)
TD 1
ln x est 1 telle que f ′(a) = -- . Donc la tangente Ta en A à a a pour équation : 1 1 y – ln a = -- (x – a) , ou encore y = -- x – 1 + lna . a a 1 b) Si a = e , Te a pour équation y = -- x donc cette e droite passe par l’origine du repère. 2. a) g est dérivable en I (somme de fonctions dérivables) -- -- ----------et, pour tout x de I, g ′(x) = 1 – 1 = x – a , donc g ′(x) > 0 a x ax lorsque x > a .

1 1. a) A a pour coordonnées (a ; ln a) et f : x

1 2. En prenant x = a + 1 > 0 : ln(a + 1) – lna N -- [2] . a 3. a) D’après [2],ln11 – ln10 N 0,1 , donc la courbe restreinte à l’intervalle [10 ; 11] semble quasiment un segment horizontal. b) ln x = 10 équivaut à x = e 10 et ln x = 15 équivaut à x = e 15 .

TD 2
– -----------1 1. h(x) = lnx + 1 – x ; h ′(x) = 1 – 1 = 1 x x ; x
x h′(x) h 0 + 1 0 0 – +∞

b)

x g′(x) g

0 –

a 0 0 +

+∞

Donc pour tout réel x > 0 , g(x) n 0 . 3. Il résulte de la questionprécédente que, pour tout réel 1 est au-dessous de x > 0 , -- x – 1 + lna n lnx , donc a n’importe laquelle de ses tangentes.

Il résulte que pour tout x > 0 , h(x) N 0 , donc lnx N x – 1 [1] . 2. a) On pose x = 1 + t avec t > – 1 , donc x > 0 , et : ln(1 + t) N t . 1b) On pose x = ---------- avec t > – 1 , donc x > 0 , et : 1+t 1 1– tln  ---------- N ---------- – 1 ou – ln(1 + t) N ---------- ,  1 +- t 1+t 1+t t donc ---------- N ln(1 + t) [2] . 1+t x Ainsi, pour tout x > – 1 , ----------- N ln(1 + x) N x [3] . 1+x

2 1. Pour tous réels x > 0 et a > 0 , g(x) n 0 , donc :
x –a lnx N lna + ----------- [1] . a

69

1 --- 3 1. À partir de [3] , --------------------- N ln  1 + 1 N 1 , d’où :  p p 1   p  -- + 1 p 1 p+1 ----------- N ln ----------- N 1 . -p+1 p p 2. a) D’après larelation précédente : 1 n +1 ------------ N ln -----------n +1 n 1 n +2 ------------ N ln -----------n +2 n +1 1 N -n 1 N -----------n +1

Donc, pour tout réel x > 0 , h(x) > 0 et k(x) < 0 , d’où :
3 2 3 x 2 ---- x 4 ---- x x – ---- + x - – ---- < ln(1 + x) < x – x - + ---- . 2 3 4 2 3

TD 4
1 1. log1 = 0 ; log10 = 1 ; log100 = 2 ; log1 000 = 3 ; log10 000 = 4 .
12. ---------- ≈ 0,43 , donc0 < k < 1 . ln10 3. Pour tous réels x > 0 et y > 0 , log(xy) = kln(xy) = klnx + klny , donc log(xy) = logx + logy . Il en va de même pour les autres résultats. 4.
y
ln

1 n +n 1 ------------ N ln --------------- N --------------n +n 2n – 1 2n – 1 Donc en faisant la somme de ces inégalités : n +n n +1 n +2 1 1 ------------ + … + ------------ N ln  ------------  ------------ … ---------------  n -  n + 1  2n – 1 n +n n +1 1 1 1 N -- + ------------ + … + --------------- . 2n – 1 n n +1 Ou encore : 1 2n 1 1 un N ln ------ N un + -- – ------ , donc un N ln2 N un + ------ . 2n n n 2n 1 b) ln2 – ------ N un N ln2 . 2n Or
n→+∞

1 O 1

log

10 x

1 lim ------ = 0 , donc 2n

n→+∞ n

lim u = ln2 .

2 1. a) Lorsque la concentration décuple, le pH diminue

TD 3...
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