TD Suites arithmétiques
1 Exercices techniques
Exercice 1 1. u est une suite arithmétique vérifiant u3 = 5 et u9 = 20. Exprimer un en fonction de n.
2. v est une suite géométrique de raison négative vérifiant v3 = 6 et v5 = 12. Exprimer vn en fonction de n.
Exercice 2 Dire des suites suivantes si elles semblent arithmétiques, géométrique, ou aucun des deux. Justifier vos suppositions.
1. u donnée par u0 = 2, u1 =
3
2
, u2 = 1 et u3 =
1
2
.
2. v donnée par v0 = −1, v1 = 2, v2 = −4 et v3 = 8.
3. w …afficher plus de contenu…

(un) donnée par un = 3× 2n.
2. (vn) donnée par vn = 3n2 − 2n.
3. (wn) donnée par wn = 3− 2n.
Exercice 4 On définit u par u0 = 0 et un+1 = 2un+3 un+4 . On admettra que un ≥ 0 pour tout entier n.
On définit la suite v par vn = un−1 un+3 .
1. Justifier que u et v sont bien définies.
2. Calculer u1, u2 et u3.
3. Exprimer vn+1 en fonction de un et en déduire que v est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
4. Exprimer vn en fonction de n.
5. En déduire l’expression de un en fonction de n.
Exercice 5 On cherche toutes les suites u qui sont à la fois arithmétiques et géométriques. Soit u une telle suite, on note r sa raison arithmétique et q sa raison géométrique.
1. Quel est le lien entre u2 − u1 et u1 − u0 ?
2. En utilisant l’expression explicite de u en fonction de q, justifier que q vérifie …afficher plus de contenu…

Calculer le montant disponible en 2030.
Exercice 9 On définit les triangles de Sierpinsky de la façon suivante : on considère un triangle équilatéral de côté 1. C’est l’étape 0. Puis, on construit les milieux de chaque côté, qu’on relie entre eux. On enlève alors l’intérieur du triangle ainsi formé. C’est l’étape 1. On répète ensuite ce processus sur chaque triangle plein obtenu. Une illustration du processus est donnée ci-dessous.
Les triangles de Sierpinsky sont un exemple de fractale.
1. On note an l’aire coloriée en noir du triangle de Sierpinsky à l’étape n.
(a) En vous aidant d’un dessin, calculer a0.
(b) Exprimer a1 par rapport à a0. Quelle est la nature de la suite (an) ?
(c) Exprimer an en fonction de n. Quelle est l’aire coloriée à l’étape 10 ? Arrondir au