MIDO M1 MMD
Processus discrets

Universit´e Paris-Dauphine 13/14
[v.1 20130930]

TD1. Esp´ erance conditionnelle.
Exercice 1 Soient X une v.a. int´egrable d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω, F, P), et B une sous-tribu de F.
1. Rappeler la d´efinition de E(X|B).
2. Compl´eter les ´egalit´es suivantes :
a) E (E(X|B)) =
b) Si X et B sont ind´ependantes, E(X|B)=
c) Si Y est une v.a. B-mesurable et si XY et X sont int´egrables, E(Y X|B)=
d) Pour toute v.a. Z B-mesurable et born´ee, E (ZE(X|B)) =
Exercice 2 Soit X une v.a. int´egrable d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω, F, P), et soient B1 , B2 deux sous-tribus de F, B1 ⊂ B2 . Montrer que
E(E(X|B1 )|B2 ) = E(X|B1 )

et que

E(E(X|B2 )|B1 ) = E(X|B1 ).

Exercice 3 Soit {A1 , A2 , . . .} une partition (finie ou infinie) de Ω. Soit B = σ(A1 , . . .) la tribu engendr´ee par cette partition.
a) D´ecrire la tribu B
b) Montrer que
E(X1Aj )
1Aj (ω).
P(Aj )

E(X|B)(ω) = j:P(Aj )>0

Exercice 4 Soient (X, Y ) une couple des v.a. `a valeurs dans ❘n × ❘m avec densit´e jointe fX,Y (x, y). Montrer que ❊[g(Y )|X] = h(X) o` u h est n’importe quelle fonction telle que h(x) pour tout x ∈ ❘n .

❘

fX,Y (x, y)dy =

m

❘

g(y)fX,Y (x, y)dy.

m

Exercice 5
a) Soient X1 , X2 deux v.a. ind´ependantes telles que P(Xi > t) = e−t , ∀t > 0. On pose Y = X1 + X2 et on consid`ere une fonction f continue sur R. Calculer
E(f (X1 )|Y ).
b) Soit X, Y deux v.a. ind´ependantes telles que X ∼ Y ∼ U([0, 1]) Soit Z = XY .
Calculer ❊[X|Z] et ❊ [Y |Z ].
c) Soit X ∼ N (0, 1). Calculer

❊[X 3 |X 2 ].

1

Exercice 6 Soit Z ∼ E (1) une v.a. exponentielle de param`etre 1 et t > 0. Soit
X = min (Z, t) et Y = max (Z, t). Calculer ❊ [Z |X ] et ❊ [Z |Y ].
Exercice 7 Un mod`ele discret d’´evolution d’actifs. Soit S0 une constante, 0 < d < u et Xn une suite iid ` a valeurs dans {u, d} telle que P(Xn = u) = p. On consid`ere la suite Sn , n 1 d´efinie par Sn = Xn Sn−1 pour n 1 qui est un mod`ele d’´evolution d’un actif financier. Soit F0 = {∅, Ω}, F1 = σ(X1 ), F2 =