´matiques
Exercices de Mathe
Parties d’un ensemble
´
Enonc´ es ´
Enonc´
es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Soient E et F deux ensembles. Quelle relation y-a-t-il :
1. Entre P(E ∪ F ) et P(E) ∪ P(F ) ?
2. Entre P(E ∩ F ) et P(E) ∩ P(F ) ?
3. Entre P(E × F ) et P(E) × P(F ) ?
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soit E un ensemble non vide. Soit F une partie non vide de P(E).

 (a) ∀ X, Y ∈ F, X ∩ Y ∈ F
On dit que F est un filtre si : (b) ∀ X ∈ F, ∀ Y ⊃ X, Y ∈ F

(c) ∅ ∈
/F
1. Que pourrait-on dire d’une famille non vide F de P(E) ne v´erifiant que (a) et (b) ?
2. P(E) est-il un filtre sur E ?
A quelle condition P(E) − {∅} est-il un filtre sur E ?
3. Montrer que si F est un filtre sur E, alors E ∈ F.
4. Soit A un partie non vide de E.
Montrer que que FA = {X ⊂ E, A ⊂ X} est un filtre sur E.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Soient (Ai )i∈I et (Bi )i∈I deux familles de parties d’un ensemble E.
On suppose que pour tout indice i de I, on a E = Ai ∪ Bi .
Montrer que E = F , avec F =

Ai i∈I Bi . i∈I c EduKlub S.A.
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Exercices de Mathe
Parties d’un ensemble
Indications, r´esultats

Indications ou r´ esultats Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. On a toujours P(E) ∪ P(F ) ⊂ P(E ∪ F ) (avec ´egalit´e ⇔ E ⊂ F ou F ⊂ E.)
2. On a l’´egalit´e P(E ∩ F ) = P(E) ∩ P(F ).
3. Il n’y a pas d’inclusion entre P(E × F ) et P(E) × P(F ).
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. On aurait F = P(E).
2. La r´eponse `a la premi`ere question est non. La deuxi`eme est que E doit ˆetre un singleton.
3. 4. Cons´equences faciles de la d´efinition d’un filtre.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Se donner un ´el´ement x de E, et se demander s’il appartient ou non