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´ Epreuve des petites mines, commune, 1995
c Francois Fayard, prot´g´ par la GNU Free Documentation License ¸ e e source disponible sur http://www.velvia.org

Probl`me 1 e
Les parties II et III sont ind´pendantes et utilisent les r´sultats ´tablis ` la partie I. e e e a Notations : Une fonction de classe C sur l’intervalle I de R est une fonction d´rivable e sur I, dont la d´riv´e f estcontinue sur I. e e Partie I 1. On d´finit la fonction ϕ sur [−π/2, π/2] par : e 1 1 ϕ (t) = − t sin t (a) si t = 0 et ϕ (0) = 0
1

ii. Calculer Sn (0) et Sn (π). (b) Calculer la valeur de l’int´grale : e Jn =
0
π 2

sin ((2n + 1) t) dt sin t

Partie II 1. (a) D´terminer la limite de : e
π 2

ϕ (t) sin ((2n + 1) t) dt

0

i. Donner le d´veloppement limit´ de ϕ au voisinage de 0 ` l’ordre4. e e a ii. En d´duire que ϕ est continue et d´rivable en 0. Pr´ciser ϕ (0). e e e (b) Montrer que ϕ est de classe C 1 sur [−π/2, π/2]. (c) Soit ψ la fonction d´finie sur [−π/2, π/2] par : e ψ (t) = t sin t si t = 0 et ψ (0) = 1

lorsque n tend vers +∞. (b) En d´duire la limite de : e In =
0
π 2

sin ((2n + 1) t) dt t

lorsque n tend vers +∞. 2. (a) i. V´rifier que la fonction f d´finie par: e e f (t) = sin t t

Montrer que ψ est une fonction de classe C 1 sur [−π/2, π/2]. Pr´ciser ψ (0). e 2. Soient a et b deux r´els tels que a < b. Soit g une fonction de classe C 1 sur [a, b], ` e a valeurs r´elles. Montrer, ` l’aide d’une int´gration par parties que : e a e
b

g (t) sin (λt) dt
a

se prolonge en une fonction continue sur R. On note F la fonction d´finie sur R+ par : e
xtend vers 0 lorsque λ tend vers +∞. 3. Soit n ∈ N∗ . On d´finit Sn sur [0, π] par : e
n

F (x) =
0

sin t dt t

Sn (t) = 1 + 2
k=1

cos (2kt) (b) sin ((2n + 1) t) sin t

ii. Comparer F ((2n + 1) π/2) et In . i. Soit x un r´el, x e que : π/2. Justifier l’existence de n ∈ N (d´pendant de x), tel e (2n + 1) On note α (x) = (2n + 1) π/2. π 2 x < (2n + 3) π 2

(a)

i. Montrer, sansr´currence, que : e ∀t ∈ ]0, π[ Sn (t) =

ii. Montrer que :

Probl`me 2 e
x α(x)

sin t dt t

tend vers 0 lorsque x tend vers +∞. (c) En d´duire que F (x) admet une limite l si x tend vers +∞. Pr´ciser l. e e 3. (a) Soient x et y r´els, tels que y > x > 0. Montrer que : e
y x

Notations : e n est un entier naturel fix´, n 2. F est l’esace vectoriel des fonctions r´elles d´finies sur R. e eE est le sous-espace vectoriel des fonctions polynˆmes ` coefficients r´els. o a e o a En est le sous-espace vectoriel des fonctions polynˆmes ` coefficients r´els de degr´ inf´rieur e e e ou ´gal ` n. e a Partie I e e Si f ∈ F, on note ∆ (f ) et T (f ) les fonctions r´elles d´finies par :

sin t dt t

2 x

(On effectuera une int´gration par parties). e (b) En d´duire que : e ∀x > 0 |l − F (x)| 2x

∀x ∈ R

∆ (f ) (x) = f (x + 1) − f (x)

et T (f ) (x) = f (x + 1) 1,

Partie III 1. (a) D´terminer deux r´els α et β, ind´pendants de n, tels que : e e e
π

On admettra (ais´ment !) que ∆ et T sont des endomorphismes de F . e On note ∆0 = T 0 = IdF (donc si f ∈ F, ∆0 (f ) = T 0 (f ) = f ), et, si j ∈ N, j ∆j = ∆j−1 ◦ ∆ = ∆ ◦ ∆j−1 , T j = T j−1 ◦ T = T ◦ T j−1 . 1. (a)

∀n ∈ N∗
0αt + βt2 cos (nt) dt =

1 n2

α et β sont d´sormais ainsi fix´s. e e (b) En d´duire que : e
n

2
k=1

1 − k2

π

αt + βt2 Sn
0

t 2

dt

i. Soit P ∈ E, non constant. ∆ (P ) est une fonction polynˆme. Comparer les o degr´s de ∆ (P ) et de P . e Calculer le coefficient dominant de ∆ (P ) en fonction de celui de P . ii. V´rifier que ∆ induit un endomorphisme de En not´ ∆n . e e(b) i. D´terminer Ker ∆n . e ii. En d´duire le rang de ∆n . D´terminer Im ∆n . e e 2. Pour k ∈ N, on d´finit les fonctions polynˆmes Nk par : e o ∀x ∈ R (a) i. Pour k N0 (x) = 1 et Nk (x) = x (x − 1) · · · (x − k + 1) k!
0. j

est un r´el ind´pendant de n, que l’on pr´cisera. e e e (c) On d´finit la fonction h sur ]0, π] par : e h (t) = αt + βt t sin 2
2

1, exprimer ∆ (Nk ) en fonction des...
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