´ Epreuve des petites mines, commune, 1995 c Francois Fayard, prot´g´ par la GNU Free Documentation License ¸ e e source disponible sur http://www.velvia.org

Probl`me 1 e
Les parties II et III sont ind´pendantes et utilisent les r´sultats ´tablis ` la partie I. e e e a Notations : Une fonction de classe C sur l’intervalle I de R est une fonction d´rivable e sur I, dont la d´riv´e f est continue sur I. e e Partie I 1. On d´finit la fonction ϕ sur [−π/2, π/2] par : e 1 1 ϕ (t) = − t sin t (a) si t = 0 et ϕ (0) = 0
1

ii. Calculer Sn (0) et Sn (π). (b) Calculer la valeur de l’int´grale : e Jn =
0
π 2

sin ((2n + 1) t) dt sin t

Partie II 1. (a) D´terminer la limite de : e π 2

ϕ (t) sin ((2n + 1) t) dt

0

i. Donner le d´veloppement limit´ de ϕ au voisinage de 0 ` l’ordre 4. e e a ii. En d´duire que ϕ est continue et d´rivable en 0. Pr´ciser ϕ (0). e e e (b) Montrer que ϕ est de classe C 1 sur [−π/2, π/2]. (c) Soit ψ la fonction d´finie sur [−π/2, π/2] par : e ψ (t) = t sin t si t = 0 et ψ (0) = 1

lorsque n tend vers +∞. (b) En d´duire la limite de : e In =
0
π 2

sin ((2n + 1) t) dt t

lorsque n tend vers +∞. 2. (a) i. V´rifier que la fonction f d´finie par : e e f (t) = sin t t

Montrer que ψ est une fonction de classe C 1 sur [−π/2, π/2]. Pr´ciser ψ (0). e 2. Soient a et b deux r´els tels que a < b. Soit g une fonction de classe C 1 sur [a, b], ` e a valeurs r´elles. Montrer, ` l’aide d’une int´gration par parties que : e a e b g (t) sin (λt) dt a se prolonge en une fonction continue sur R. On note F la fonction d´finie sur R+ par : e x tend vers 0 lorsque λ tend vers +∞. 3. Soit n ∈ N∗ . On d´finit Sn sur [0, π] par : e n F (x) =
0

sin t dt t

Sn (t) = 1 + 2 k=1 cos (2kt) (b) sin ((2n + 1) t) sin t

ii. Comparer F ((2n + 1) π/2) et In . i. Soit x un r´el, x e que : π/2. Justifier l’existence de n ∈ N (d´pendant de x), tel e (2n + 1) On note α (x) = (2n + 1) π/2. π 2 x < (2n + 3) π 2

(a)

i. Montrer, sans