vecteur

Pages: 6 (1307 mots) Publié le: 12 février 2015
VECTEURS ET DROITES

En 1837, le mathématicien italien Giusto BELLAVITIS, ci-contre,
(1803 ; 1880) publie des travaux préfigurant la notion de vecteurs
qu'il nomme "segments équipollents".
Puis plus tard au XIXe siècle, le mathématicien et physicien
allemand Hermann GRASSMANN (1809 ; 1877) pose les bases
des opérations sur les segments orientés pour les besoins de la
mécanique : additionde forces, de vitesses... Le calcul vectoriel
prend alors réellement son essor.

I. Colinéarité de deux vecteurs

Définition :
Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction
c’est-à-dire qu’il existe un nombre réel k tel que u = kv .

Critère de colinéarité :
x
 x'
Soit u et v deux vecteurs de coordonnées   et   dans un repère (O, i , j ).
y
 y '
Dire que u et v sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux
vecteurs sont proportionnelles soit : xy’ – yx’ = 0.

Démonstration :
- Si l’un des vecteurs est nul alors l’équivalence est évidente.
- Supposons maintenant que les vecteurs u et v soient non nuls.
Dire que les vecteurs u et v sont colinéaires équivaut à dire qu’il existe un nombre
réel k tel que u =kv .
Les coordonnées des vecteurs u et v sont donc proportionnelles et le tableau cidessous est un tableau de proportionnalité :
x
x'
y
y'
Donc : xy’ = yx’ soit encore xy’ – yx’ = 0.

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr

Réciproquement, si xy’ – yx’ = 0.
Le vecteur v étant non nul, l’une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que
x
xy '
x’≠ 0. Posonsalors k = . L’égalité xy’ – yx’ = 0 s’écrit : y =
= ky ' et donc u = kv .
x'
x'

Exemple :
5 
 −7 
Vérifier si les vecteurs u   et v   sont colinéaires.
 −4 
5 
5 x 5 – (-4) x (-7) = -3 ≠ 0.
Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.

II. Equations de droite
1) Vecteur directeur d'une droite
Définition :
D est une droite du plan.
On appelle vecteur directeur de D toutvecteur non nul u qui possède la même
direction que la droite D.

2) Equation cartésienne d'une droite
Théorème et définition :
Toute droite D admet une équation de la forme ax + by + c = 0 avec ( a ; b ) ≠ ( 0 ; 0 ) .
Un vecteur directeur de D est u ( −b ; a ) .
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite D.
Démonstration :
Soit A ( x0 ; y0 ) un point de la droite D et u(α ; β ) un vecteur directeur de D.

 x − x0 
Un point M(x ; y) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs AM 

 y − y0 
α 
et u   sont colinéaires, soit : β ( x − x0 ) − α ( y − y0 ) = 0 .
β 
Soit encore : β x − β x0 − α y + α y0 = 0
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr

Et donc : β x − α y + α y0 − β x0 = 0
Cette équation peuts'écrire : ax + by + c = 0 avec a = β et b = −α et c = α y0 − β x0 .

Les coordonnées de u sont donc (α ; β ) = ( −b ; a ) .

Exemple :
Soit une droite d d'équation cartésienne 4x − 5y − 1 = 0 .
Alors le vecteur u de coordonnées (5 ; 4) est un vecteur directeur de d.

Théorème réciproque :
L'ensemble des points M(x ; y) tels que ax + by + c = 0 avec ( a ; b ) ≠ ( 0 ; 0 ) est une
droite D devecteur directeur u ( −b ; a ) .
- Admis -

Méthode : Déterminer une équation de droite à partir d'un point et d'un vecteur
directeur
On considère un repère O ; i ; j du plan.

(

)

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par le point A(3 ; 1) et
de vecteur directeur u (-1 ; 5).
2) Déterminer une équation cartésienne de la droite d' passant par les points B(5 ;3)
et C(1 ; -3).

1) Soit un point M(x ; y) de la droite d.
 x − 3
 −1 
Les vecteurs AM 
 et u   sont colinéaires, soit : 5 ( x − 3) − ( −1)( y − 1) = 0 .
 y −1 
5 
Soit encore : 5x + y − 16 = 0 .
Une équation cartésienne de d est : 5x + y − 16 = 0 .
Remarque :
Une autre méthode consiste à appliquer le premier théorème énoncé plus haut.
Ainsi, comme u (-1 ; 5) est un...
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