ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur
Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires

Opérations sur les vecteurs
Vecteur x base (canonique) bi , i=1,n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension  x1      n     x = xi = ∑ xi bi   i =1   x   n  soient ( xi ∈ V )i = 1, k 0     bi =  1     0   k x ∈ Rn

∀x, y ∈ V , ∀λ , µ ∈ R λx + µy ∈ V i =1 k

 α i xi α i ∈ R ∑

  W =  y ∈ V ∃α i ∈ R, y = ∑ α i xi  s.e.v. de V   i =1 k    noyau de W : ker(W ) =  y ∈ W ∑ α i xi = 0 i =1  

Opérations sur les vecteurs
Somme multiplication ? Vecteur transposé Norme produit scalaire, vecteurs orthogonaux x' = ( x1  xi  xn ) x = ∑ xi = x' x
2 2 i =1 n

z = x+ y

zi = xi + yi

( x, y ) = ∑ xi yi = x' y ; i =1

n

x = ( x, x ) = x ' x
2

{y ∈ R n ( x, y) = 0}

Normes et produit scalaire
 n : E → R+ norme :   x  n( x ) exemples E = R n ; x =∑
2 2 n i =1 n

 n( x) ≥ 0 positivité  n( x ) = 0 ⇔ x = 0  vérifiant   n(λx) = λ n( x) n ( x + y ) ≤ n ( x ) + n ( y )  p n

xi2

; x

p p

= ∑ xi ( p ≥ 1) ; x 1 = ∑ xi ; x ∞ = sup xi i =1 i =1 i =1, n

p ( x, y ) = p ( y , x )   produit  p : E × E → R p (λx, y ) = λp ( x, y )  vérifiant   x, y  p ( x, y ) scalaire   p ( x + y , z ) = p ( x, z ) + p ( y , z )  p ( x, x ) = n ( x )  n exemple E = R ; p ( x, y ) = ( x, y ) = ∑ xi yi ; i =1 n

( x, x) = x = ∑ xi2 euclidienne
2 2 i =1

n

propriété : inégalité de Schwartz : ( x, y ) ≤ x 2 y 2

Matrices
Tableau de n lignes et k colonnes
 a11    A =  ai1    a  n1  a1 j  a1k         aij  aik         anj  ank  

Remarque fondamentale : on ne peu rien démontrer sans faire référence à l’application linéaire que la matrice représente
A : Rk → Rn x  y = Ax linéaire : A(λx + µy ) = λAx + µAy

Applications linéaires
Soient E et F deux espaces vectoriels