Exercice 15 :

Soit ABCD un parallélogramme de centre O et E un point tel que A soit le milieu de [EB]. F et I sont les points d'intersection de (EC) avec (AD) et (BD). J le point d'intersection de (EO) avec (BC).
a) Démontrer que EACD est un parallélogramme.
b) Démontrer que les droites (FO) et (CD) sont parallèles.
c) Démontrer que I est le centre de gravité du triangle ADC.
d) Déterminer le réel k tel que

.

e) Déterminer le réel k’ tel que
. (On pourra utiliser le point K milieu de [AB].)
f) Démontrer que les droites (FO), (IJ) et (CD) sont parallèles.

Exercice 16 :

Sur les cotés d’un parallélogramme ABCD, on place les points E et F tels que :
1.
2.
3.
4.

=

1
2

et

=3

.

Montrez que
.
Montrez que
.
En déduire que
.
Que conclure quand aux points C, E et F ?

Exercice 17 :

Soit ABC un triangle quelconque. I, J, K les milieux de [BC], [CA] et [AB].
On appelle G le centre de gravité de ce triangle.
On se propose de démontrer le théorème suivant :
Théorème :
Dans un triangle quelconque ABC, de centre de gravité G, on a :

GA + GB + GC = 0
De plus, G est le seul point du plan à vérifier cette égalité vectorielle.

1.
2.
3.
4.

Faites une figure, représentez le point G et exprimer en fonction de .
Montrez que
, puis que
.
Donner la caractérisation vectorielle du milieu I de [BC].

En déduire finalement que
+
+
= 0.

Il nous reste à montrer que si un point du plan M vérifie
+
+
= 0 , alors ce point est le centre de gravité du triangle ABC. Soit M un tel point.
5. Sachant que
6. Conclure.

+

+


= 0 , montrer que tout point N du plan vérifie
.

Exercice 18 :

Soit ABC un triangle et G son centre de gravité. Soit D le point tel que GBDC est un parallélogramme.
Démontrer que G est le milieu de [AD].

Exercice 19 :

la droite d’Euler

Soit un triangle ABC. A’, B’ et C’ les milieux des cotés [BC], [CA] et [AB].
On appelle G le centre de gravité du triangle et O le