Master 2 Math APPLIQUEE EDP

ANNEE SCOLAIRE 2012 - 2013

THEME :

Approximation d’un problème elliptique par la méthode des volumes finis

PRESENTE PAR
HAUDIE JEAN STEPHANE INKPE

Le 05 juin 2013

Approximation d’un problème elliptique par la méthode des volumes finis

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INTRODUCTION
La méthode des volumes finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles, tout comme la méthode des différences finies et celle des éléments finis.
Contrairement à la méthode des différences finies qui met en jeu des approximations des dérivées, les méthodes des volumes finis et des éléments finis exploitent des approximations d'intégrales. Toutefois, la méthode des volumes finis se base directement sur la forme dite « forte » de l'équation à résoudre, alors que la méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variationnelle de l'équation dite « faible ».
Aussi, les inconnues ou variables discrètes ne sont pas les extrémités des mailles comme le préconise la méthode des différences finies, mais sont plutôt situées à l'intérieur des mailles.
Le principe des méthodes de volumes finis consiste à découper le domaine Ω en des volumes de contrôle puis d’intégrer l’équation différentielle sur les différents volumes de contrôle et enfin d’approcher les flux sur les bords des volumes de contrôle par une technique de différences finies.
En effet, l'équation aux dérivées partielles est résolue de manière approchée à l’aide d’un maillage constitué de volumes finis (qui sont des petits volumes disjoints en 3D, des surfaces en 2D, ou des segments en 1D) dont la réunion constitue le domaine d'étude.
Les méthodes de volumes finis sont parfaitement adaptées à la résolution de lois de conservation1. En effet, pour des équations aux dérivées partielles qui contiennent des termes de divergence, en utilisant le théorème de flux-divergence ou de Green-Ostrogradski, les intégrales de volume d'un terme de divergence se transforment en des intégrales de