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Analyse Complexe, de Fourier, Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04
Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé del’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage.
Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre 2003 à début janvier 2004. J’ai rassemblé dans une section annexe plusieurs choses importantes, en complément. Ce résumé ne comporte aucune démonstration complètement formalisée, néanmoins en ce qui concerne le point central que constitue la factorisation des fonctions des espaces de Hardy(pour le disque ou le demi-plan) en facteurs intérieur, extérieur et produit de Blaschke, on peut considérer que la preuve en est donnée ici avec toutes les indications nécessaires. Le cours a principalement porté sur l’étude des espaces H2 , H∞ , H1 , et N pour le disque unité et le demi-plan : rappels sur les notions de base de la théorie des séries de Fourier, de la théorie de l’intégration etde la théorie de la mesure, intégrales de Poisson, théorèmes de Herglotz, de Fatou, de Szëgo-Riesz « log |f | ∈ L1 », des frères Riesz, factorisation de Smirnov-Nevanlinna, théorie de Beurling-Lax des espaces invariants pour le décalage discret ou continu, théorèmes de Szëgo-Kolmogorov-Krein et de Wold sur les séries temporelles stationnaires, théorèmes de Paley-Wiener, théorème de convolution deTitchmarsh, la classe N pour le disque et le demi-plan, condition suffisante pour l’absence de facteur singulier, théorème de Kre˘ (sur les ın fonctions entières). Ce cours n’est qu’une première introduction à ce merveilleux chapitre de la Théorie des Fonctions, à la confluence de bien des domaines. Presque aucune mention n’a été faite des autres espaces Hp , rien n’a été dit des fonctions conjuguées,des techniques employant les fonctions maximales, ou les fonctions sous-harmoniques, ou les indicateurs de Phragmén-Lindelöf, et absolument rien n’a été dit des développements des trente ou quarante dernières années comme les théorèmes de Carleson, la condition BMO, les techniques probabilistes etc. . . Les livres de Duren, Dym-McKean, Hoffman, et Rudin de la bibliographie contiennent presque toutce dont nous parlons et bien plus encore (à l’exception notable du théorème de Kre˘ ın). Je recommande aussi tout particulièrement le livre de Rosenblum et Rovnyak (en particulier parce qu’il contient une démonstration du théorème de Kre˘ ın).

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Quelques références en rapport avec, ou prolongeant, ce cours : – M. Andersson, Topics in complex analysis Universitext. Springer-Verlag, 1997. –N. I. Akhiezer et I. M. Glazman, Theory of linear operators in Hilbert space, Dover Publications Reprint, 1993. – L. de Branges, Espaces hilbertiens de fonctions entières, Traduit de l’anglais par R. Parrot, Masson et Cie. Éditeurs, Paris, 1972. – K. Chandrasekharan, Classical Fourier transforms. Universitext. Springer-Verlag, 1989. – P. Duren,Theory of H p spaces, Dover Publications Reprint,1990. – H. Dym et H. P. McKean, Fourier series and integrals, Academic Press, New York, 1972. – M. L. Gorbachuk et V. I. Gorbachuk, M. G. Krein’s lectures on entire operators, Birkhäuser, Basel, 1997. – H. Helson, Harmonic analysis, Addison-Wesley, 1983. – K. Hoffman, Banach spaces of analytic functions. Dover Publications Reprint, 1988. – P. Koosis, Introduction to Hp spaces, Second edition, CambridgeUniv. Press, Cambridge, 1998. – P. D. Lax, Functional analysis, Wiley-Intersci., New York, 2002. – B. Ya. Levin, Lectures on entire functions, AMS, 1996. – R.E. Paley et N. Wiener, Fourier Transforms in the Complex Domain, Amer. Math. Soc., 1934. – F. Riesz et B. Sz.-Nagy, Functional analysis, Translated from the second French edition by Leo F. Boron, Reprint of the 1955 original, Dover, New...
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