L'homme fondamentalement bon ou mauvais

Pages: 8 (1973 mots) Publié le: 12 janvier 2011
CCP — TSI — 2006 — 2

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I)
1)

Equations différentielles
a) L’équation différentielle est linéaire, du premier ordre à coefficients non constants avec second ∗ membre. On travaille sur R+ , intervalle sur lequel le théorème s’applique, on connait donc l’existence de solutions et leur structure. 1 L’équation homogène associée est : xy − y = 0, ses solutions sont : y = Ke− − x dx = Kx. b) Oncherche ici une solution particulière, à moins d’en « deviner » une, on applique la méthode de variation de la constante. y = kx donne y = K + K x, et donc xy − y = K x2 = ln(x). ln(x) On cherche donc une primitive à K = 2 , x on obtient facilement en intégrant par parties : ln(x) ln(x) 1 ln(x) 1 dx = − + dx = − − . K= 2 2 x x x x x On obtient alors comme solution particulière : y = − ln(x) − 1. c)Les solutions de l’équation sont donc : y = Kx − ln(x) − 1. 2) Avec la condition initiale y(0) = 1, on obtient K = 1 et donc : f (x) = x − ln(x) − 1.

A) xy − y = ln(x)

B) x2 y − xy + y = 1 − ln(x)
1) L’équation différentielle est linéaire, du second ordre à coefficients non constants avec second ∗ membre. On travaille sur R+ , intervalle sur lequel le théorème s’applique, on connait doncl’existence de solutions et leur structure. L’équation homogène associée est : x2 y − xy + y = 0 a) On cherche une solution de l’équation homogène sous la forme y = xα . Ce qui donne y = αxα−1 ∗ et y = α(α − 1)xα−2 . On remarque que, comme on travaille sur R+ , ces formules sont encore valables si α vaut 0 ou 1. On réinjecte dans l’équation : x2 y − xy + y = (α2 − 2α + 1)xα = 0, d’où α = 1. Lavérification est élémentaire et, x → x est donc solution de l’équation différentielle homogène associée. b) On utilise encore la variation de la constante : y = Kx, y = K + K x et y = 2K + K x. On réinjecte dans l’équation : x2 y − xy + y = K x3 + K x2 = 0. ∗ Comme on travaille sur R+ , on obtient : K x + K = 0. C’est bien une équation différentielle linéaire du premier ordre en K , sans second membre. 1 Onobtient facilement une solution particulière K = et donc K = ln(x). x Finalement, x → x ln(x) est une autre solution de l’équation différentielle homogène associée. c) L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire du second ordre sans second membre sur un intervalle convenable a une structure d’espace vectoriel de dimension 2. ∗ La solution générale de x2 y − xy + y = 0 sur R+ est donc: x → λx + µx ln(x). 1 1 a) On pose y0 = −1 − ln(x), d’où y0 = − et y0 = 2 . x2 y0 − xy0 + y0 = 1 + 1 − 1 − ln(x) = 1 − ln(x). x x y0 est bien une solution particulière de (E2 ).
∗ b) L’ensemble des solutions de cette équation différentielle sur R+ est donc : x → −1 − ln(x) + λx + µx ln(x).

2)

3) On sait qu’avec ces conditions initiales, (E2 ) possède une solution unique. On a f (x) = x −ln(x) − 1 qui correspond à λ = 1 et µ = 0, c’est une solution de (E2 ). On a aussi f (1) = 0 et f (1) = 0 ; f est donc l’unique solution de (E2 ) qui vérifie ces conditions initiales.
— Christophe Caignaert — Lycée Colbert — 59200 Tourcoing — http://c.caignaert.free.fr —

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CCP — TSI — 2006 — 2

II)

Etude de la fonction f
1 x−1 = est du signe de x − 1. x x La limite de f en 0+ est +∞,ainsi que celle en +∞ en utilisant cette fois le théorème des croissances comparées. x D’où le tableau de variations : f (x) f (x) +∞ 0 − 1 0 0 + +∞ +∞

∗ 1) f (x) = x − 1 − ln(x) sur R+ .

a) f (x) = 1 −

b) En 0+ , on a une asymptote verticale. f (x) 1 ln(x) =1− − → 1. En +∞, on cherche la limite de : x x x x→+∞ On a au moins une branche infinie de direction asymptotique y = x. On cherchemaintenant la limite de : f (x) − x = −1 − ln(x) → −∞.
x→+∞

On a finalement une branche parabolique de direction asymptotique y = x. Voici l’allure du graphe.

∗ c) On a bien montré que ∀x ∈ R+ , f (x)

∗ 0, et donc : ∀x ∈ R+ , x − 1

ln(x).

2)

a) x ln(x) − x est connue par cœur comme étant une primitive de ln(x), et donc x2 x2 − x − (x ln(x) − x) = − x ln(x) est une primitive...
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