CCP — TSI — 2006 — 2

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I)
1)

Equations différentielles
a) L’équation différentielle est linéaire, du premier ordre à coefficients non constants avec second ∗ membre. On travaille sur R+ , intervalle sur lequel le théorème s’applique, on connait donc l’existence de solutions et leur structure. 1 L’équation homogène associée est : xy − y = 0, ses solutions sont : y = Ke− − x dx = Kx. b) On cherche ici une solution particulière, à moins d’en « deviner » une, on applique la méthode de variation de la constante. y = kx donne y = K + K x, et donc xy − y = K x2 = ln(x). ln(x) On cherche donc une primitive à K = 2 , x on obtient facilement en intégrant par parties : ln(x) ln(x) 1 ln(x) 1 dx = − + dx = − − . K= 2 2 x x x x x On obtient alors comme solution particulière : y = − ln(x) − 1. c) Les solutions de l’équation sont donc : y = Kx − ln(x) − 1. 2) Avec la condition initiale y(0) = 1, on obtient K = 1 et donc : f (x) = x − ln(x) − 1.

A) xy − y = ln(x)

B) x2 y − xy + y = 1 − ln(x)
1) L’équation différentielle est linéaire, du second ordre à coefficients non constants avec second ∗ membre. On travaille sur R+ , intervalle sur lequel le théorème s’applique, on connait donc l’existence de solutions et leur structure. L’équation homogène associée est : x2 y − xy + y = 0 a) On cherche une solution de l’équation homogène sous la forme y = xα . Ce qui donne y = αxα−1 ∗ et y = α(α − 1)xα−2 . On remarque que, comme on travaille sur R+ , ces formules sont encore valables si α vaut 0 ou 1. On réinjecte dans l’équation : x2 y − xy + y = (α2 − 2α + 1)xα = 0, d’où α = 1. La vérification est élémentaire et, x → x est donc solution de l’équation différentielle homogène associée. b) On utilise encore la variation de la constante : y = Kx, y = K + K x et y = 2K + K x. On réinjecte dans l’équation : x2 y − xy + y = K x3 + K x2 = 0. ∗ Comme on travaille sur R+ , on obtient : K x + K = 0. C’est bien une équation différentielle linéaire du premier ordre en K , sans second membre. 1 On