Anneau noethérien

Polynômes factoriels On note ℝ [X ] la ℝ algèbre des polynômes réels en l’indéterminée X . Pour n ∈ ℕ , ℝ n [X ] désigne le sous-espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur à n . Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . Partie I 1.a Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 1.b On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) . On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) . 2. Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆

Rondelle (29) Anneau élastique (20) Engrenage (2, 24a) FT12 FT1 Transmettre le mouvement de rotation de l’arbre moteur (1) l’arbre de sortie (19) Guider en rotation l’arbre intermédiaire (24) FT13 Transmettre le mouvement à l’arbre de sortie (19) FT14 Lier la roue (21) à l’arbre (19) FT15 Guider en rotation l’arbre de sortie (19) FT16 Roulements (25) et (27) Anneaux élastiques (22) et (23) Engrenage (24b, 21) Clavette (14) Rondelle (10) Anneau élastique (9) Roulements (3) et (16) Anneau élastiques

Exercices du chapitre VIII : Espaces vectoriels Soit E un espace vectoriel sur le corps K. Montrer les relations suivantes : ∀λ∈K ,∀X∈E (a) 0X = λ0 = 0 [deux de ces 0 sont dans E, et un seul (lequel?) est dans K]. (b) (−λ)X = −(λX) = λ(−X) on notera −λX cet ´l´ment. ee (c) (−1)X = −X (d) (−λ)(−X) = λX No 1 Solution (a) On a indiqu´ en caract`re gras le 0 de K. En utilisant (EV2) e e 0X = (0 + 0)X = 0X + 0X , puis en utilisant les propri´t´s de groupe dans E, ee 0 = 0X + (−0X) = 0X + 0X +

41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Rep 1 1 1 1 1 2 1 1 1 Moteur FI 75110 Vis à billes Anneau élastique 22 – 1,2 Ecrou a billes Coulisseau Anneau de fixation du soufflet Soufflet Réservoir d’équilibrage de pression Joint avant 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Nb 42 CD 4 Pas 1/8˝ XC 10 PC

d’ordre p. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 5 A.4 Anneaux Notions – Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de composition interne + et × telles que (A, +) soit un groupe abélien, (A, ×) un monoïde et × distributive à droite et à gauche sur +. – Si (A, +, ×) est un anneau, B ⊂ A en est un sous-anneau si 1A ∈ B, ∀(x, y) ∈ B 2 , x+y ∈ B, xy ∈ B et −x ∈ B. – Si (A, +, ×) est un anneau, I ⊂ A en est un idéal bilatère si 0A ∈ I, ∀(x, y) ∈ I 2 , x + y ∈ I et ∀a ∈ A, ∀x ∈ I, ax

anneaux commutatifs et leurs modules. Localisation : idéaux premiers, racine d’un idéal, anneaux et modules de fractions, anneaux locaux. Dépendance entière : clôture intégrale, théorème de montée. Anneaux et modules noethériens, anneaux de polynômes sur un anneau noethérien. Ensembles algébriques affines, théorème des zéros de Hilbert, ensembles algébriques irréductibles et idéaux premiers, propriétés des courbes planes, dimension des variétés. Applications. Méthodes numériques (3-0-6)

Montrer l’application Ea : F(X, R) → R définie par Ea (f ) = f (a) est un morphisme d’anneaux. Exercice 34 [ 00128 ] [correction] Pour d ∈ N, on note Ad = (x, y) ∈ Z2 /d divise (y − x) a) Montrer que Ad est un sous anneau (Z2 , +, ×). b) Inversement, soit A un sous anneau de (Z2 , +, ×). Montrer que H = {x ∈ Z/(x, 0) ∈ A} est un sous groupe de (Z, +). c) En déduire qu’il existe d ∈ N tel que H = dZ et A = Ad . Corps k Gp = z ∈ C; ∃k ∈ N, z p = 1 a) Montrer que Gp est un sous-groupe